Question

由平面上一点A作⊙O的两条切线，切点分别为B，C．D为劣弧BC上任意一点，过D作AD的垂线交∠BOD和∠DOC的角平分线于点E和点F．求证：DE=DF．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：连接FC，DC，过C作DF的平行线，与OF交于G，过F作FH∥OC，可证得△ADC∽△CGO，结合条件进一步可证得△ACO∽△AFD和△AED∽△AOB，可证得∠DAF=∠EAD，结合AD⊥EF，可证得结论．

解答：证明：连接FC，DC，过C作DF的平行线，与OF交于G，过F作FH∥OC，
∵FH∥OC，∠ACO=90°，且AD⊥DF，
∴∠DAC=∠DFH，
∵∠ACD=∠FOC，
∴△ADC∽△CGO，
∴

AC

AD

=

OC

CG

，
∴

CG

AD

=

OC

AC

，
∵OF平分∠DOC，OD=OC，CG∥DF，
∴DF=DC=CG，
∴

DF

AD

=

OC

OA

，
又∵∠ADF=∠ACO=90°，
∴△ACO∽△AFD，
∴∠OAC=∠DAF，
同理：△AED∽△AOB，
∴∠BAO=∠EAD，
∵∠BAO=∠CAO，
∴∠DAF=∠EAD，
∵AD⊥EF，
∴ED=FD．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质及切线的性质，通过作平行构造三角形相似是解题的关键，注意利用相似来寻找角相等是解题的常用思路．