Question

【题目】如图1，已知长方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，E为CD边的中点，P为长方形ABCD边上的动点，动点P从A出发，沿着A→B→C→E运动到E点停止，设点P经过的路程为x，△APE的面积为y．

（1）求当x=5时，对应y的值；

（2）如图2、3、4，求出当点P分别在边AB、BC和CE上时，y与x之间的关系式；

（3）如备用图，当P在线段BC上运动时，是否存在点P使得△APE的周长最小，若存在，求出此时∠PAD的度数，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）x=5时，y=11；

（2）当点P在AB边上时，y=3x；当点P在BC边上时， ；当点P在线段CE上时， ；

（3）存在，此时∠PAD=45°.

【解析】试题分析：（1）利用三角形面积求法S△AP′E=S梯形ABCE-S△ABP′-S△P′CE，分别得出答案；

（2）利用当0≤x≤4时，当4<x≤10时，当10<x≤12时，分别得出y与x的函数关系式即可；（3）利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置，进而利用相似三角形的性质求出答案．

试题解析： (1)如图1，

∵长方形ABCD中，BC=AD=6，

∴当x=2时,则AP=2,故y=S△APE=×2×6=6；

∵长方形ABCD，AB=CD=4，BC=AD=6，

∴当x=5时,则BP′=1，

故y=S△AP′E=S梯形ABCES△ABP′S△P′CE

= (AB+EC)×BC×AB×BP′P′C×EC= (4+2)×6×1×4×5×2=11.

(2)当0x4时,y=x×6=3x；

当4<x10时，P在BC上，

y=S梯形ABCES△ABP′S△P′CE=18×4×(x4) (10x)×2=16x；

当10<x≤12时，P在EC上，

y=×6×(12x)=363x.

综上所述：y=.

（3）存在.如图，

作点E关于BC所在直线的对称点E′，连接AE′ 交BC于点P，此时△APE的周长最小，于是DE′=6=AD，又因为∠D=90°，所以=45°．