Question

13．如图，在直角坐标系中直线AB分别交x轴，y轴与A（-6，0）、B（0，-8）两点，现有一半径为1的动圆，圆心由A点，沿着AB方向以每秒1个单位的速度做平移运动，则经过几秒后动圆与坐标轴相切．

Answer 1

分析 在直角三角形OAB中，OA=6，OB=8，由勾股定理得AB=10，设⊙经过t秒后与坐标轴相切，
（1）当⊙经过t秒后到达P点与x轴相切，过P点作x轴的垂线，垂足为D，则PD=1，由△APD∽△ABO中的成比例线段求解；
（2）当⊙经过t秒后到达K点与y轴相切，过k点作y轴的垂线，垂足为E，则KE=1，KB=10-t；由△KEB∽△ABO中的成比例线段求解；
（3）当⊙经过t秒后到达Q点与y轴相切，过q点作y轴的垂线，垂足为c，则QC=1，BQ=t-10，由△QBC∽△ABO中的成比例线段求解；

解答 解：∵A（-6，0）、B（0，-8）
∴OA=6，OB=8，
∴AB=10，
（1）当⊙经过t秒后到达P点与x轴相切，过P点作x轴的垂线，垂足为D，则PD=1；
由△APD∽△ABO得，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PD}{OB}$，即$\frac{t}{10}$=$\frac{1}{8}$，
解得t=$\frac{5}{4}$；
（2）当⊙经过t秒后到达K点与y轴相切，过k点作y轴的垂线，垂足为E，则KE=1；KB=10-t；
由△KEB∽△ABO得，$\frac{KB}{AB}$=$\frac{KE}{OA}$，即$\frac{10-t}{10}$=$\frac{1}{6}$，
解得t=$\frac{25}{3}$．
（3）当⊙经过t秒后到达Q点与y轴相切，过q点作y轴的垂线，垂足为c，则QC=1；BQ=t-10，
由△QBC∽△ABO得，$\frac{BQ}{AB}$=$\frac{CQ}{OA}$，即$\frac{t-10}{10}$=$\frac{1}{6}$，解得t=$\frac{35}{3}$，
综上所述，t=$\frac{5}{4}$s或$\frac{25}{3}$s或$\frac{35}{3}$s时，动圆与坐标轴相切．

点评 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．