Question

4．已知关于x的一元二次方程x²-mx+m-1=0．
（1）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
（2）若抛物线y=x²-mx+m-1经过（k-1，8）和（-k+5，8）两点，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若此抛物线与x轴交与A、B（点A在点B的左边），M（a，b）为抛物线上任意一点，若0°＜∠MAB≤45°，请直接写出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程根的判别式即可得到结论；
（2）由于抛物线y=x²-mx+m-1过点（k-1，8）和点（-k+5，8）．得到对称轴为：x=$\frac{（k-1）（-k+5）}{2}$=2，求得m=4．得到结论；
（3）抛物线与x轴交与A、B（点A在点B的左边），得到A（1，0），B（3，0），当M点在x轴的上方，当M点在x轴的下方，过M作ME⊥x轴于E，得到△MAB是等腰直角三角形，列方程得到结论．

解答 （1）证明：在x²-mx+m-1=0中，△=m²-4（m-1）=m²-4m+4=（m-2）²
∵当m取任何值时，（m-2）²≥0，
∴无论m取任何实数时，方程总有实数根．

（2）解：①∵抛物线y=x²-mx+m-1过点（k-1，8）和点（-k+5，8）．
∴抛物线y=x²-mx+m-1的对称轴为：x=$\frac{（k-1）（-k+5）}{2}$=2，
∴x=$\frac{m}{2}$，解得m=4．
∴y=x²-4x+3；

（3）解：∵抛物线x²-4x+3与x轴交与A、B（点A在点B的左边），
∴A（1，0），B（3，0），
当M点在x轴的上方，
过M作ME⊥x轴于E，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴ME=AE，
即b=a-1，
∵M（a，b）为抛物线上任意一点，
∴a-1=a²-4a+3，
解得a=4，a=1（不合题意，舍去），
当M点在x轴的下方，
过M作MF⊥x轴于F，
∴△MAB是等腰直角三角形，
∴MF=AF，
即-b=a-1，
∵M（a，b）为抛物线上任意一点，
∴-a+1=a²-4a+3，
解得a=2，a=1（不合题意，舍去），
∴a的取值范围为2≤a≤4．

点评 本题考查了二次方程的根的判别式以及抛物线的解析式求法，构建等腰直角三角形是本题的关键．