Question

【题目】如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A（3，6）．

（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；

（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；

（3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？

Answer 1

【答案】（1）y=2x，OA=，

（2）是一个定值，，

（3）当时，E点只有1个，当时，E点有2个。

【解析】（1）把点A（3，6）代入y=kx 得；

∵6=3k，

∴k=2，

∴y=2x．

OA=．

（2）是一个定值，理由如下：

如答图1，过点Q作QG⊥y轴于点G，QH⊥x轴于点H．

①当QH与QM重合时，显然QG与QN重合，

此时；

②当QH与QM不重合时，

∵QN⊥QM，QG⊥QH

不妨设点H，G分别在x、y轴的正半轴上，

∴∠MQH=∠GQN，

又∵∠QHM=∠QGN=90°

∴△QHM∽△QGN…（5分），

∴，

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时，同理可得．①①

如答图2，延长AB交x轴于点F，过点F作FC⊥OA于点C，过点A作AR⊥x轴于点R

∵∠AOD=∠BAE，

∴AF=OF，

∴OC=AC=OA=

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC，

∴，

∴OF=，

∴点F（，0），

设点B（x，），

过点B作BK⊥AR于点K，则△AKB∽△ARF，

∴，

即，

解得x1=6，x2=3（舍去），

∴点B（6，2），

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，

∴AB=5

（求AB也可采用下面的方法）

设直线AF为y=kx+b（k≠0）把点A（3，6），点F（，0）代入得

k=，b=10，

∴，

∴，

∴（舍去），，

∴B（6，2），

∴AB=5

在△ABE与△OED中

∵∠BAE=∠BED，

∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，

∴∠ABE=∠DEO，

∵∠BAE=∠EOD，

∴△ABE∽△OED.

设OE=x，则AE=﹣x （），

由△ABE∽△OED得，

∴

∴（）

∴顶点为（，）

如答图3，

当时，OE=x=，此时E点有1个；

当时，任取一个m的值都对应着两个x值，此时E点有2个．

∴当时，E点只有1个

当时，E点有2个