Question

【题目】在ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA，BC的平行线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE.

(1)求证：四边形ADCE是菱形；

(2)若AC=2DE，求sin∠CDB的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】试题分析: （1）由DE∥BC，CE∥AB，可证得四边形DBCE是平行四边形，又由△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得CD=AD=BD=CE，然后由CE∥AB，证得四边形ADCE平行四边形的性质，继而证得四边形ADCE是菱形；

（2）首先过点C作CF⊥AB于点F，由（1）可知，BC=DE，设BC=x，则AC=2x，然后由勾股定理求得AB，再由三角形的面积，求得CF的长，由勾股定理即可求得CD的长，继而求得答案．

试题解析:

（1）∵DE∥BC，EC∥AB，

∴四边形DBCE是平行四边形．

∴EC∥DB，且EC=DB．

在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，

∴AD=DB=CD．

∴EC=AD．

∴四边形ADCE是平行四边形．

∵ED∥BC．

∴∠AOD=∠ACB．

∵∠ACB=90°，

∴∠AOD=∠ACB=90°．∴平行四边形ADCE是菱形；

（2）过点C作CF⊥AB于点F，

由（1）可知，BC=DE，设BC=x，则AC=2x，

在Rt△ABC中，AB= ， CD= AB= ，

因为 AB·CF= AC·BC，

所以CF= x，

则sin∠CDB= =