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【题目】(2016广东省深圳市第23题)如图,抛物线轴交于A、B两点,且B(1 , 0)。

(1)、求抛物线的解析式和点A的坐标;

(2)、如图1,点P是直线上的动点,当直线平分APB时,求点P的坐标;

(3)如图2,已知直线 分别与 交于C、F两点。点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点,过点Q作 轴的平行线,交直线CF于点D,点E在线段CD的延长线上,连接QE。问以QD为腰的等腰QDE的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由。

【答案】(1)、y=x+2x-3 ,A(-3,0);(2)、();(3)、QDE的面积最大值为.

【解析】

试题分析:(1)、把点B的坐标代入解析式得出函数解析式和点A的坐标;(2)、若y=x平分APB,则APO=BPO,若P点在x轴上方,PA与y轴交于点,从而得出≌△OPB,从而得出点P的坐标;当点P在x轴下方时,不成立;(3)、作QHCF,根据直线CF的解析式得出点C和点F的坐标,求出tanOFC的值,QDE是以DQ为腰的等腰三角形,根据DQ=DE得出函数解析式,则当DQ=QE时则DEQ的面积比DQ=DE时大,然后设点Q的坐标,求出函数解析式得出最大值.

试题解析:(1)、把B(1,0)代入y=ax+2x-3 得a+2-3=0,解得a=1

y=x+2x-3 ,A(-3,0)

(2)、若y=x平分APB,则APO=BPO

如答图1,若P点在x轴上方,PA与y轴交于 ∵∠POB=PO=45°APO=BPO,PO=PO

∴△≌△OPB =1, PA: y=3x+1

若P点在x轴下方时, 综上所述,点P的坐标为

(3)、如图2,作QHCF, CF:y=C(,0),F(0,) tanOFC=

DQy轴 QDH=MFD=OFC tanHDQ=

不妨记DQ=1,则DH=,HQ= QDE是以DQ为腰的等腰三角形

若DQ=DE,则

若DQ=QE,则

当DQ=QE时则DEQ的面积比DQ=DE时大

设Q 当DQ=t=

以QD为腰的等腰QDE的面积最大值为

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(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;

(2)试探究抛物线上是否存在点F,使,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;

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将两个全等的直角三角形按图1摆放,其中∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.

证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.

∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab.

又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a),

b2+ab=c2+a(b-a),

∴a2+b2=c2.

请参照上述证法,利用图2完成下面的证明:

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.

求证:a2+b2=c2.

证明:连接

∵S五边形ACBED=

又∵S五边形ACBED=

∴a2+b2=c2.

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