【题目】(2016山西省第23题)综合与探究
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8).
(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;
(2)试探究抛物线上是否存在点F,使≌,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:当m为何值时,是等腰三角形.
【答案】(1)、;B(8,0);E(3,-4);(2)、()或();(3)、或.
【解析】
试题分析:(1)、将A,D的坐标代入函数解析式,解二元一次方程即可求出函数表达式;点B坐标:利用抛物线对称性,求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标;点E坐标:E为直线l和抛物线对称轴的交点,利用D点坐标求出l表达式,令其横坐标为,即可求出点E的坐标;(2)、利用全等对应边相等,可知FO=FC,所以点F肯定在OC的垂直平分线上,所以点F的纵坐标为-4,带入抛物线表达式,即可求出横坐标;(3)、根据点P在y轴负半轴上运动,∴分两种情况讨论,再结合相似求解.
试题解析:(1)抛物线经过点A(-2,0),D(6,-8),
解得 抛物线的函数表达式为
,抛物线的对称轴为直线.又抛物线与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(-2,0).点B的坐标为(8,0)
设直线l的函数表达式为.点D(6,-8)在直线l上,6k=-8,解得.
直线l的函数表达式为
点E为直线l和抛物线对称轴的交点.点E的横坐标为3,纵坐标为,
即点E的坐标为(3,-4)
(2)、抛物线上存在点F,使≌.点F的坐标为()或()
(3)、分两种情况:
①当时,是等腰三角形.
点E的坐标为(3,-4),,过点E作直线ME//PB,交y轴于点M,交x轴于点H,则, 点M的坐标为(0,-5).
设直线ME的表达式为,,解得,ME的函数表达式为,令y=0,得,解得x=15,点H的坐标为(15,0)
又MH//PB,,即,
②当时,是等腰三角形. 当x=0时,,点C的坐标为(0,-8),
,OE=CE,,又因为,, ,CE//PB
设直线CE交x轴于点N,其函数表达式为,,解得,
CE的函数表达式为,令y=0,得,,点N的坐标为(6,0)
CN//PB,,,解得
综上所述,当m的值为或时,是等腰三角形.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC的平分线交CD于点E.
(1)若∠A=70°,求∠ABE的度数;
(2)若AB∥CD,且∠1=∠2,判断DF和BE是否平行,并说明理由.
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【题目】(2016广东省深圳市第23题)如图,抛物线与轴交于A、B两点,且B(1 , 0)。
(1)、求抛物线的解析式和点A的坐标;
(2)、如图1,点P是直线上的动点,当直线平分∠APB时,求点P的坐标;
(3)如图2,已知直线 分别与轴 轴 交于C、F两点。点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点,过点Q作 轴的平行线,交直线CF于点D,点E在线段CD的延长线上,连接QE。问以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由。
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在数学课上,林老师在黑板上画出如图所示的△ABD和△ACE两个三角形,并写出四个条件:①AB=AC;②AD=AE;③∠1=∠2;④∠B=∠C.请你从这四个条件中选出三个作为题设,另一个作为结论,组成一个真命题,并给予证明.
题设:___________;结论:_______.(均填写序号)
证明:
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