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【题目】(2016山西省第23题)综合与探究

如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,直线l经过坐标原点O,与抛物线的一个交点为D,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8).

(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B和点E的坐标;

(2)试探究抛物线上是否存在点F,使,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q.试探究:当m为何值时,是等腰三角形.

【答案】(1)、;B(8,0);E(3,-4);(2)、()或();(3)、.

【解析】

试题分析:(1)、将A,D的坐标代入函数解析式,解二元一次方程即可求出函数表达式;点B坐标:利用抛物线对称性,求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标;点E坐标:E为直线l和抛物线对称轴的交点,利用D点坐标求出l表达式,令其横坐标为,即可求出点E的坐标;(2)、利用全等对应边相等,可知FO=FC,所以点F肯定在OC的垂直平分线上,所以点F的纵坐标为-4,带入抛物线表达式,即可求出横坐标;(3)、根据点P在y轴负半轴上运动,分两种情况讨论,再结合相似求解.

试题解析:(1)抛物线经过点A(-2,0),D(6,-8),

解得 抛物线的函数表达式为

抛物线的对称轴为直线.又抛物线与x轴交于A,B两点,点A的坐标为(-2,0).点B的坐标为(8,0)

设直线l的函数表达式为点D(6,-8)在直线l上,6k=-8,解得

直线l的函数表达式为

点E为直线l和抛物线对称轴的交点.点E的横坐标为3,纵坐标为

即点E的坐标为(3,-4)

(2)、抛物线上存在点F,使.点F的坐标为()或(

(3)、分两种情况:

时,是等腰三角形.

点E的坐标为(3,-4),,过点E作直线ME//PB,交y轴于点M,交x轴于点H,则 点M的坐标为(0,-5).

设直线ME的表达式为,解得ME的函数表达式为,令y=0,得,解得x=15,点H的坐标为(15,0)

MH//PB,,即

时,是等腰三角形. 当x=0时,点C的坐标为(0,-8),

OE=CE,,又因为 CE//PB

设直线CE交x轴于点N,其函数表达式为,解得

CE的函数表达式为,令y=0,得点N的坐标为(6,0)

CN//PB,,解得

综上所述,当m的值为时,是等腰三角形.

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