精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】若抛物线L:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,abc≠0)与直线l都经过y轴上的一点P,且抛物线L的顶点Q在直线l上,则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系.此时,直线l叫做抛物线L的“带线”,抛物线L叫做直线l的“路线”.

(1)若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系,求m,n的值;

(2)若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上,它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4,求此“路线”L的解析式;

(3)当常数k满足≤k≤2时,求抛物线L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围.

【答案】(1)m的值为﹣1,n的值为1.(2)y=2(x+1)2﹣6或y=﹣(x﹣3)2+2.(3)≤S≤

【解析】

试题分析:(1)确定直线y=mx+1与y轴的交点坐标,将其代入抛物线解析式中即可求出n的值;再根据抛物线的解析式找出顶点坐标,将其代入直线解析式中即可得出结论;(2)确定直线与反比例函数图象的交点坐标,由此设出抛物线的解析式,再由直线的解析式找出直线与x轴的交点坐标,将其代入抛物线解析式中即可得出结论;(3)由抛物线解析式找出抛物线与y轴的交点坐标,再根据抛物线的解析式找出其顶点坐标,由两点坐标结合待定系数法即可得出与该抛物线对应的“带线”l的解析式,找出该直线与x、y轴的交点坐标,结合三角形的面积找出面积S关于k的关系上,由二次函数的性质即可得出结论.

试题解析:(1)令直线y=mx+1中x=0,则y=1,

即直线与y轴的交点为(0,1);

将(0,1)代入抛物线y=x2﹣2x+n中,

得n=1.

∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1=(x﹣1)2

∴抛物线的顶点坐标为(1,0).

将点(1,0)代入到直线y=mx+1中,

得:0=m+1,解得:m=﹣1.

答:m的值为﹣1,n的值为1.

(2)将y=2x﹣4代入到y=中有,

2x﹣4=,即2x2﹣4x﹣6=0,

解得:x1=﹣1,x2=3.

∴该“路线”L的顶点坐标为(﹣1,﹣6)或(3,2).

令“带线”l:y=2x﹣4中x=0,则y=﹣4,

∴“路线”L的图象过点(0,﹣4).

设该“路线”L的解析式为y=m(x+1)2﹣6或y=n(x﹣3)2+2,

由题意得:﹣4=m(0+1)2﹣6或﹣4=n(0﹣3)2+2,

解得:m=2,n=﹣

∴此“路线”L的解析式为y=2(x+1)2﹣6或y=﹣(x﹣3)2+2.

(3)令抛物线L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k中x=0,则y=k,

即该抛物线与y轴的交点为(0,k).

抛物线L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的顶点坐标为(﹣),

设“带线”l的解析式为y=px+k,

∵点(﹣)在y=px+k上,

=﹣p+k,

解得:p=

∴“带线”l的解析式为y=x+k.

令∴“带线”l:y=x+k中y=0,则0=x+k,

解得:x=﹣

即“带线”l与x轴的交点为(﹣,0),与y轴的交点为(0,k).

∴“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积S=|﹣|×|k|,

≤k≤2,

≤2,

∴S===

=1时,S有最大值,最大值为

=2时,S有最小值,最小值为

故抛物线L:y=ax2+(3k2﹣2k+1)x+k的“带线”l与x轴,y轴所围成的三角形面积的取值范围为≤S≤

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送1056张照片,如果全班有x名同学,根据题意,列出方程为(

A.xx+1=1056B.xx-1=1056C.xx+1=1056×2D.xx-1=1056×2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】某班数学兴趣小组对函数的图像和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整.

(1)自变量的取值范围是全体实数,的几组对应值列表如下:

0

1

2

3

4

3

0

0

3

其中,=____________.

(2)根据上表数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图像的一部分,请画出该图像的另一部分.

(3)观察函数图像,写出两条函数的性质:

(4)进一步探究函数图像发现:

函数图像与轴有__________个交点,所以对应方程有___________个实数根;

方程有___________个实数根;

关于的方程有4个实数根,的取值范围是_______________________

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】小宜同学在百度搜索引擎中输入“中国梦,我的梦”,能搜索到与之相关的结果约为61700000条,这个数用科学记数法可表示为

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】两个能够完全重合的图形称为 .

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】小明的数学作业本的纸上都是等距离的横线,他在上面任意画一条不与这些横线平行的直线,那么这条直线被这些横线所截得的线段( )

A. 平行 B. 相等 C. 平行或相等 D. 不相等

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】在一次有24000名学生参加的数学质量抽测的成绩中,随机取2000名考生的数学成绩进行分析,则在该抽样中,样本指的是( ).

A.所抽取的2000名考生的数学成绩

B.24000名考生的数学成绩

C.2000

D.2000名考生

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形,称为第一次操作;然后,将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到7个小三角形,称为第二次操作;再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形,共得到10个小三角形,称为第三次操作;…根据以上操作,若要得到100个小三角形,则需要操作的次数是(

A.25 B.33 C.34 D.50

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】一个多边形的内角和加上它的外角和等于900°,求此多边形的边数.

查看答案和解析>>

同步练习册答案