Question

【题目】如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．请解答下列问题：

（1）图中与∠DBE相等的角有：　 　；

（2）直接写出BE和CD的数量关系；

（3）若△ABC的形状、大小不变，直角三角形BEC变为图2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝∠C，DE与AB相交于点F．试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）∠ACE和∠BCD；

（2）BE＝CD；

（3）BE＝DF，证明见解析

【解析】

（1）根据三角形内角和定理得到∠DBE＝∠ACE，根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACE，得到答案；

（2）延长BE交CA延长线于F，证明△CEF≌△CEB，得到FE＝BE，证明△ACD≌△ABF，得到CD＝BF，证明结论；

（3）过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，分别证明△BGH≌△DFH、△BDE≌△GDE，根据全等三角形的性质解答即可．

解：（1）∵BE⊥CD，

∴∠E＝90°，

∴∠E＝∠BAC，又∠EDB＝∠ADC，

∴∠DBE＝∠ACE，

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD＝∠ACE，

∴∠DBE＝∠BCD，

故答案为：∠ACE和∠BCD；

（2）延长BE交CA延长线于F，

∵CD平分∠ACB，

∴∠FCE＝∠BCE，

在△CEF和△CEB中，

，

∴△CEF≌△CEB（ASA），

∴FE＝BE，

在△ACD和△ABF中，

，

∴△ACD≌△ABF（ASA），

∴CD＝BF，

∴BE＝CD；

（3）BE＝DF

证明：过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，

∵DG∥AC，

∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°，

∵∠EDB＝∠C，

∴∠EDB＝∠EDG＝∠C，

∵BE⊥ED，

∴∠BED＝90°，

∴∠BED＝∠BHD，

∵∠EFB＝∠HFD，

∴∠EBF＝∠HDF，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠C＝∠ABC＝45°，

∵GD∥AC，

∴∠GDB＝∠C＝45°，

∴∠GDB＝∠ABC＝45°，

∴BH＝DH，

在△BGH和△DFH中，

，

∴△BGH≌△DFH（ASA）

∴BG＝DF，

∵在△BDE和△GDE中，

，

∴△BDE≌△GDE（ASA）

∴BE＝EG，

∴BE＝．