Question

【题目】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，且∠B=45°，AD=DC=1，点M为边BC上一动点，联结AM并延长交射线DC于点F，作∠FAE=45°交射线BC于点E、交边DCN于点N，联结EF．

（1）当CM：CB=1：4时，求CF的长．

（2）设CM=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域．

（3）当△ABM∽△EFN时，求CM的长．

Answer 1

【答案】(1) CF=1；（2）y=，0≤x≤1；（3）CM=2﹣．

【解析】

（1）如图1中，作AH⊥BC于H．首先证明四边形AHCD是正方形，求出BC、MC的长，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；

（2）在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2=12+（1+y）2，由△EAM∽△EBA，可得，推出AE2=EMEB，由此构建函数关系式即可解决问题；

（3）如图2中，作AH⊥BC于H，连接MN，在HB上取一点G，使得HG=DN，连接AG．想办法证明CM=CN，MN=DN+HM即可解决问题；

解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．

∵CD⊥BC，AD∥BC，

∴∠BCD=∠D=∠AHC=90°，

∴四边形AHCD是矩形，

∵AD=DC=1，

∴四边形AHCD是正方形，

∴AH=CH=CD=1，

∵∠B=45°，

∴AH=BH=1，BC=2，

∵CM=BC=，CM∥AD，

∴=，

∴=，

∴CF=1．

（2）如图1中，在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2=12+（1+y）2，

∵∠AEM=∠AEB，∠EAM=∠B，

∴△EAM∽△EBA，

∴=，

∴AE2=EMEB，

∴1+（1+y）2=（x+y）（y+2），

∴y=，

∵2﹣2x≥0，

∴0≤x≤1．

（3）如图2中，作AH⊥BC于H，连接MN，在HB上取一点G，使得HG=DN，连接AG．

则△ADN≌△AHG，△MAN≌△MAG，

∴MN=MG=HM+GH=HM+DN，

∵△ABM∽△EFN，

∴∠EFN=∠B=45°，

∴CF=CE，

∵四边形AHCD是正方形，

∴CH=CD=AH=AD，EH=DF，∠AHE=∠D=90°，

∴△AHE≌△ADF，

∴∠AEH=∠AFD，

∵∠AEH=∠DAN，∠AFD=∠HAM，

∴∠HAM=∠DAN，

∴△ADN≌△AHM，

∴DN=HM，设DN=HM=x，则MN=2x，CN=CM=x，

∴x+x=1，

∴x=﹣1，

∴CM=2﹣．