Question

【题目】如图，点的坐标为，轴，垂足为，轴，垂足为，点分别是射线、上的动点，且点不与点、重合，.

（1）如图1，当点在线段上时，求的周长；

（2）如图2，当点在线段的延长线上时，设的面积为，的面积为，请猜想与之间的等量关系，并证明你的猜想.

Answer 1

【答案】（1）12；（2）2S1=36 +S2.

【解析】

(1)根据已知条件证得四边形ABOC是正方形，在点B左侧取点G，连接AG，使AG=AE，利用HL证得Rt△ABG≌Rt△ACE，得到∠GAB=∠EAC,GB=CE，再利用证得△GAD≌△EAD，得到DE=GB+BD，由此求得的周长；

(2) 在OB上取点F，使AF=AE，根据HL证明Rt△ABF≌Rt△ACE，得到∠FAE=∠ABC=90，再证明△ADE≌△ADF，利用面积相加关系得到四边形AEDF的面积=S△ACE+S四边形ACOF+S△ODE，根据三角形全等的性质得到2S△ADE=S正方形ABOC+S△ODE，即可得到2S△ADE=36 +S△ODE.

(1)∵点的坐标为，轴，轴，

∴AB=BO=AC=OC=6,

∴四边形ABOC是菱形，

∵∠BOC=90，

∴四边形ABOC是正方形，

在点B左侧取点G，连接AG，使AG=AE，

∵四边形ABOC是正方形，

∴AB=AC，∠ABG=∠ACE=90，

∴Rt△ABG≌Rt△ACE，

∴∠GAB=∠EAC,GB=CE，

∵∠BAE+∠EAC=90，

∴∠GAB+∠BAE=90，

即∠GAE=90，

∵

∴∠GAD=,

又∵AD=AD,AG=AE，

∴△GAD≌△EAD，

∴DE=GD=GB+BD,

∴的周长=DE+OD+OE=GB+BD+OD+OE=OB+OC=6+6=12

(2) 2S1=36 +S2，理由如下：

在OB上取点F，使AF=AE，

∵AB=AC，∠ABF=∠ACE=90，

∴Rt△ABF≌Rt△ACE，

∴∠BAF=∠CAE,

∴∠FAE=∠ABC=90，

∵∠DAE=45，

∴∠DAF=∠DAE=45，

∵AD=AD，

∴△ADE≌△ADF，

∵四边形AEDF的面积=S△ACE+S四边形ACOF+S△ODE，

∴2S△ADE=S正方形ABOC+S△ODE，

∴2S△ADE=36 +S△ODE

.即：2S1=36 +S2