Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交底边BC于D．

（1）求证：BD=CD；

（2）若AB=3，cos∠ABC=，在腰AC上取一点E使AE=，试判断DE与⊙O的位置关系，并证明．

　

Answer 1

【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理．

【专题】证明题．

【分析】（1）连结AD，如图，根据圆周角角定理，由AB为直径得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质可得BD=CD；

（2）连结OD，如图，在Rt△ABD中，先利用余弦定义计算出BD=AB=1，则Cd=1，再利用勾股定理计算出AD=2，则有=，加上∠DAE=∠CAD，于是可判断△ADE∽△ACD，所以∠AED=∠ADC=90°，接着证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，所以OD⊥DE，则根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线．

【解答】（1）证明：连结AD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

而AB=AC，

∴BD=CD；

（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：

连结OD，如图，

在Rt△ABD中，∵cos∠ABD==，

∴BD=AB=×3=1，

∴AD==2，CD=1，

∵=， ==，

∴=，

而∠DAE=∠CAD，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠AED=∠ADC=90°，

∴DE⊥AC，

∵OA=OB，BD=CD，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理和等腰三角形的性质．