Question

【题目】已知四边形ABCD和AEFG都是正方形，

（1）如图1，E、G分别在AB、AD上，连CF，H为CF的中点，EH与DH的位置关系是　 ，数量关系是　 ．

（2）如图2，在图1的基础上，把正方形AEFG绕A点顺时针旋转α（α为锐角），（1）中结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，在（2）旋转过程中，当点F落在BC上，且AE：AB＝　 时，有AB平分EF．

Answer 1

【答案】（1）DH⊥EH，DH＝EH；（2）结论：DH⊥EN，DH＝EH＝HN．理由见解析；（3）AE：AB＝：3．

【解析】

（1）如图1中，延长EH到N，使得HN=EH．连接DN，CN．只要证明△ADE≌△CDN（SAS），推出DE=DN，∠ADE=∠CDN，∠EDN=∠ADC=90°再利用等腰直角三角形的性质即可解决问题；

（2）结论：DH⊥EN，DH=EH=HN．如图2中，延长EH到N，使得HN=EH．连接DN，CN，DE，延长NC交AD于点M．想办法证明△ADE≌△CDN（SAS）即可解决问题；

（3）如图3中，作EN⊥AB于N设BF交AB于M．设BM=NM=a，想办法求出AE，AB（用a表示），即可解决问题；

解：（1）如图1中，延长EH到N，使得HN＝EH．连接DN，CN，DE．

∵FH＝HC，∠FHE＝∠CHN，EH＝HN，

∴△FHE≌△CHN（SAS），

∴EF＝CN，∠FEH＝∠CNH，

∴EF∥CN，

∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，

∴AD＝DC，∠DAE＝∠ADC＝∠AEF＝90°，AE＝EF＝CN，

∴EF⊥AB，∵AB∥CD，

∴EF⊥CD，∵EF∥CN，

∴CN⊥CD，

∴∠DCN＝∠DAE＝90°

∵AD＝CD，AE＝CN，

∴△ADE≌△CDN（SAS），

∴DE＝DN，∠ADE＝∠CDN，

∴∠EDN＝∠ADC＝90°，

∵EH＝HN，

∴DH⊥EN，DH＝EH＝HN，

故答案为：DH⊥EH，DH＝EH．

（2）结论：DH⊥EN，DH＝EH＝HN．

理由：如图2中，延长EH到N，使得HN＝EH．连接DN，CN，DE，延长NC交AD于点M．

∵FH＝HC，∠FHE＝∠CHN，EH＝HN，

∴△FHE≌△CHN（SAS），

∴EF＝CN，∠FEH＝∠CNH，

∴EF∥CN，

∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，

∴AD＝DC，∠DAE＝∠ADC＝90°，AE＝EF＝CN，EF∥AG，

∵EF∥AG，EF∥NM，

∴AG∥NM，

∴∠GAD＝∠NMD，

∵∠EAD＝90°+∠DAG，∠DCN＝90°+∠DMC，

∴∠EAD＝∠DCN，

∵AD＝CD，AE＝CN，

∴△ADE≌△CDN（SAS），

∴DE＝DN，∠ADE＝∠CDN，

∴∠EDN＝∠ADC＝90°，

∵EH＝HN，

∴DH⊥EN，DH＝EH＝HN．

（3）如图3中，作EN⊥AB于N设BF交AB于M．

∵∠ENM＝∠B＝90°，∠EMN＝∠BMF，EM＝MF，

∴△ENM≌FBM（AAS），

∴NM＝BM，设BM＝NM＝a，

∵AE＝2EM，

∴tan∠EAM＝＝

∵∠NEM+∠AEN＝90°，∠EAN+∠AEN＝90°，

∴∠EAN＝∠NEM，

∴tan∠EAN＝tan∠NEM＝，

∴EN＝2a，AN＝4a，

∴AB＝6a，AE＝＝，

∴AE：AB＝：6a＝：3．