Question

12．在平面直角坐标系中，直线L与x轴、y轴分别交于A、B两点，且直线上所有的坐标（x，y）都是二元一次方程x+2y+6=0．
（1）如图1，求A、B两点的坐标；
（2）若C为x轴上一动点，过C作CN∥AB交y轴于M，AP，MP分别平分∠CAE和∠NMY，当C在x轴正半轴上运动时，求∠P的度数．
（3）若C在OA上运动，连接BC延长至F，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的角平分线相交于同一点G，过G作GH⊥BE于H点，证明$\frac{∠AGH}{∠BGC}$的值不变．

Answer 1

分析 解：（1）令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-6，于是得到结论；
（2）延长MN交AP于Q，根据角平分线的定义得到∠EAP=$\frac{1}{2}$∠EAO，∠NMP=$\frac{1}{2}$∠NMY根据三角形的外角的性质得到∠EAP=$\frac{1}{2}$∠ABO+45°，根据平行线的性质得到∠EAP=∠AQN，∠ABO=∠BMC=∠NMY，等量代换即可得到结论；
（3）根据已知条件得到∠AGH=90°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），求得∠BGC=∠FCG-∠FBG=90°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），于是得到∠AGH=∠BGC，即可得到结论．

解答 解：（1）令x=0，得y=-3，令y=0，得x=-6，
∴A（-6，0），B（0，-3）；

（2）延长MN交AP于Q，
∵AP，MP平分∠EAO，∠NMY，
∴∠EAP=$\frac{1}{2}$∠EAO，∠NMP=$\frac{1}{2}$∠NMY
∵∠EAO=∠ABO+∠AOB，
∴∠EAP=$\frac{1}{2}$∠ABO+45°，
∵CN∥AB，
∴∠EAP=∠AQN，∠ABO=∠BMC=∠NMY，
∴∠EAP=$\frac{1}{2}$∠NMY+45=∠AQN=∠P+∠NMP，
∴∠P=45°；

（3）∵∠AGH=90-∠GAE，且∠CAE=∠ABC+∠ACB，
∴∠AGH=90°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠BGC=∠FCG-∠FBG=$\frac{1}{2}$（∠FCA-∠ABC）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB-∠ABC ）=90°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∴∠AGH=∠BGC，
∴$\frac{∠AGH}{∠BGC}$=1，值不变．

点评 本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义，余角的性质，直线与坐标轴的交点坐标，正确的识别图形是解题的关键．