Question

如图，在?ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，AF⊥DC垂足为点F，联结EF．
（1）求证：△AEF∽△BAC；
（2）如果

S△AEF

S△ABCD

=

3

8

，求∠B的度数．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）运用平行四边形的性质及四点共圆的判定和性质，问题即可解决．
（2）运用平行四边形的性质：面积之比=相似比的平方，结合直角三角形的边角关系即可解决问题．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠ECF=180°；
又∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∴A、E、C、F四点公圆；
∴∠AFE=∠ACB，∠EAF+∠ECF=180°，
∴∠B+∠ECF=∠EAF+∠ECF，
∴∠B=∠EAF，而∠AFE=∠ACB，
∴△AEF∽△BAC．
（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S_{平行四边形ABCD}=2S_△ABC；
又∵

S△AEF

S平行四边形ABCD

=

3

8

，
∴

S△AEF

S△ABC

=

3

4

，
∵△AEF∽△BAC，
∴

S△AEF

S△ABC

=(

AE

AB

)2，
∴

AE

AB

=

3

2

∵sin∠B=

AE

AB

=

3

2

，
∴∠B=60°．

点评：该命题依平行四边形为载体，综合考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．