Question

【题目】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=4，点D是AB的中点，动点P、Q同时从点D出发（点P、Q不与点D重合），点P沿D→A以1cm/s的速度向中点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动．回到点D停止．以PQ为边在AB上方作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）．

（1）当点N在边AC上时，求t的值．

（2）用含t的代数式表示PQ的长．

（3）当点Q沿D→B运动，正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是五边形时，求S与t之间的函数关系式．

（4）直接写出正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）3t或4-t;（3）＜t≤时,S=﹣t2+10t﹣2； ≤t＜1时， S=﹣t2+6t；（4）0＜t≤或t= ．

【解析】试题分析：（1）由已知得出AD=BD=AB=2，由正方形的性质得出PN=MN=MQ=PQ=3t，∠APN=∠QPN=∠PQM=∠NMQ=∠MNP=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，求出∠ANP=∠A=45°，得出AP=PN，即可得出答案；

（2）分两种情况：①当0<t≤1时，PQ=3t；②当1<t<2时，BQ=2t-2，求出DQ=4-2t，得出PQ=PD+DQ=4-t；

（3）分两种情况：①当时，QF=BQ=2-2t，ME=MF=5t-2，由正方形分面积减去等腰直角三角形的面积，即可得出答案；

②当≤t<1时，PG=AP=2-t，HQ=BQ=2-2t，由勾股定理得出AC=BC= ，由大等腰直角三角形的面积减去两个小等腰直角三角形的面积，即可得出答案；

（4）分两种情况：①0<t≤；②AP=BQ，BQ=2t-2，AP=2-t，解方程求出即可．

解：（1）如图①所示：

∵AB=4，点D是AB的中点，

∴AD=BD=AB=2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴PN=MN=MQ=PQ=3t，∠APN=∠QPN=∠PQM=∠NMQ=∠MNP=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=45°，

∴∠ANP=∠A=45°，

∴AP=PN，

∴2﹣t=3t，

∴t=；

（2）分两种情况：

①当0＜t≤1时，PQ=3t；

②当1＜t＜2时，BQ=2t﹣2，

∴DQ=2﹣（2t﹣2）=4﹣2t，

∴PQ=PD+DQ=4﹣t；

（3）分两种情况：

①当＜t≤时，如图②所示：

QF=BQ=2﹣2t，ME=MF=3t﹣（2﹣2t）=5t﹣2，

∴S=（3t）2﹣（5t﹣2）2=﹣t2+10t﹣2；

②当≤t＜1时，如图③所示：

PG=AP=2﹣t，HQ=BQ=2﹣2t，

∵AC=BC=AB=2，

∴S=×（2）2﹣×（2﹣t）2﹣×（2﹣2t）2=﹣t2+6t；

（4）分两种情况：

①如图④所示：此时0＜t≤；

②如图⑤所示：

此时AP=BQ，BQ=2t﹣2，AP=2﹣t，

∴2﹣t=2t﹣2，

解得：t=；

综上所述：正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是轴对称图形时t的取值范围为0＜t≤或t=．