【题目】如图①,在△ABC中,∠C=90°,AC=15,BC=20,经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相交.⊙O与AC边的另一个公共点为D,与BC边的另一个公共点为E,与AB边的两个公共点分别为F、G.设⊙O的半径为r.
(操作感知)
(1)根据题意,仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O,并标明相关字母;
(初步探究)
(2)求证:CD2+CE2=4r2;
(3)当r=8时,则CD2+CE2+FG2的最大值为 ;
(深入研究)
(4)直接写出满足题意的r的取值范围;对于范围内每一个确定的r的值,CD2+CE2+FG2都有最大值,每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为 .
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)48;(4).
【解析】
(1)根据要求画出图形即可(如图①所示);
(2)如图②中,连接.利用勾股定理即可解决问题;
(3)因为是定值,是的弦,的半径为定值 8,所以弦心距越小则弦越长,圆心在以为圆心8为半径的圆上,当时,到距离最短,此时最大,由此即可解决问题;
(4)首先确定的范围.圆心距离最近时的值最大,当半径比较小时,在上时的值最大,当圆心在 上,圆正好经过点时,设,在△中,则有,解得,当时,若还在上,则点在圆内,圆不与边相交,推出此时圆心应该是在中垂线上,推出时,在上,时,在中垂线上,则的值最大,推出路径如下图折线.
(1)解:如图①即为所求,
(2)证明:如图②中,连接DE.
∵∠DCE=90°,
∴DE为⊙O直径,即DE=2r,
∴CD2+CE2=DE2=4r2,
(3)解:如图③中,
∵CD2+CE2是定值,FG是⊙O的弦,⊙O的半径为定值 8,
∴弦心距越小则弦FG越长,圆心O在以C为圆心8为半径的圆上,
当CO⊥AB时,O到AB距离最短,此时FG最大,
∵ ,
∴CH==12,
∵OC=8,
∴OH=4,
OH⊥FG,
∴,
∴,
∴CD2+CE2+FG2的最大值=.
故答案为:448.
(4)如图④中,
当⊙O1 与AB相切时,⊙O1的直径最小,最小值为12,此时r=6,
当圆心O2在AB上时,圆直径最大等于AB=25,
∴,
∵圆心距离AB最近时CD2+CE2+FG2的值最大,
当半径比较小时,O在CH上时CD2+CE2+FG2的值最大,
当圆心在CH 上,圆正好经过点A时,设O0A=O0C=r,
在Rt△AO0H中,则有r2=(12﹣r)2+92,
解得:,
∴,
当时,若O还在CH上,则A点在圆内,圆不与AB边相交,
∴此时圆心应该是在AC中垂线上,
∴时,O在CH上,
时,O在AC中垂线上,则CD2+CE2+FG2的值最大,
∴O路径如下图折线 O1﹣O0﹣O2
∵O1H=6,,
∴,
∵,AH=9,
∴,
∴,
∴O点路径长=.
故答案为:.
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【题目】襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段.贫困户张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售.在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,采取了降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克.第x天的售价为y元/千克,y关于x的函数解析式为 且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克.已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克,每天的利润是W元(利润=销售收入﹣成本).
(1)m= ,n= ;
(2)求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大?最大利润是多少?
(3)在销售蓝莓的30天中,当天利润不低于870元的共有多少天?
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【题目】问题呈现
如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点、和、,与相交于点,求的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比如连接格点、,可得,则,连接,那么就变换到中.
问题解决
(1)直接写出图1中的值为_________;
(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,与相交于点,求的值;
思维拓展
(3)如图3,,,点在上,且,延长到,使,连接交的延长线于点,用上述方法构造网格求的度数.
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【题目】随着疫情的有效控制我省百大项目之一的哈尔滨地铁“二号线三号线”全面复工修建,建设方通过合理化地施工设计,加大适当的投入来弥补前期耽误的工作量,以保证今年修建目标的实现。修建过程中有大量的残土需要运输。某车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆,全部车辆运输一次可以运输110吨残土.
(1)求该车队有载重量为8吨、10吨的卡车各多少辆?
(2)随着工程的进展,该车队需要一次运输残土不低于165吨,为了完成任务,该车队准备新购进这两种卡车共6辆,则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆?
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【题目】“元旦大酬宾!”,某商场设计的促销活动如下:在一个不透明的箱子里放有3张相同的卡片,卡片上分别标有“10元”、“20元”和“30元”的字样,规定:在本商场同一日内,顾客每消费满300元,就可以在箱子里摸出一张卡片,记下钱数后放回,再从中摸出一张卡片.商场根据两张卡片所标金额的和返还相等价格的购物券,购物券可以在本商场消费.某顾客刚好消费300元.
(1)该顾客最多可得到 元购物券;
(2)请你用画树状图或列表的方法,求出该顾客所获得购物券的金额不低于40元的概率.
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【题目】小明从家去上学,先步行一段路,因时间紧,他改骑共享单车,结果到学校时迟到了7min,其行驶的路程(单位:)与时间(单位:)的关系如图.若他出门时直接骑共享单车(两次骑车速度相同),则下列说法正确的是( )
A.小明会迟到2min到校B.小明刚好按时到校
C.小明可以提前1min到校D.小明可以提前2min到校
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【题目】如图,已知双曲线y=和直线y=-x+2,P是双曲线第一象限上一动点,过P作y轴的平行线,交直线y=-x+2于Q点,O为坐标原点.
(1)求直线y=-x+2与坐标轴围成三角形的周长;
(2)设△PQO的面积为S,求S的最小值.
(3)设定点R(2,2),以点P为圆心,PR为半径画⊙P,设⊙P与直线y=-x+2交于M、N两点.
①判断点Q与⊙P的位置关系,并说明理由;
②求S△MON=S△PMN时的P点坐标.
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【题目】四张扑克牌的点数分别是2,5,6,8,除点数不同外,其余都相同,将它们洗匀后背面朝上放在桌上
(1)若从中随机抽取一张牌,则抽出的牌的点数是偶数的概率为 ;
(2)若随机抽取一张牌不放回,接着再抽取一张牌,请用列表法或画树状图法(只选其中一种)表示出所有可能出现的结果,并求所抽两张牌的点数都是偶数的概率.
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