Question

6．已知如图，在梯形ABCD中AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，△ABC为边长为6的等边三角形，DC=2．
（1）AD的长为2$\sqrt{7}$；
（2）求OB的长．

Answer 1

分析 （1）过A作AE⊥CD交CD的延长线于E，过O作OG⊥AB于G，过C作CF⊥AB于F，则四边形AFCE是矩形，根据矩形的性质得到CE=AF，AE=CF，根据已知条件得到AF=CE=3，CF=3$\sqrt{3}$，根据勾股定理即可得到结论；
（2）由AB∥CD，得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$，求得OC=1.5，OA=4.5，通过△AOG∽△ACF，得到$\frac{OG}{CF}=\frac{AG}{AF}=\frac{AO}{AC}$，求得OG=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，AG=$\frac{9}{4}$，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）过A作AE⊥CD交CD的延长线于E，过O作OG⊥AB于G，过C作CF⊥AB于F，
则四边形AFCE是矩形，
∴CE=AF，AE=CF，
∵△ABC为边长为6的等边三角形，
∴AF=CE=3，CF=3$\sqrt{3}$，
∴AE=3$\sqrt{3}$，
∵CD=2，
∴DE=1，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
故答案为：2$\sqrt{7}$．

（2）∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$，
∴$\frac{6}{2}=\frac{OA}{OC}$=3，
∵OA+OC=AC=6，
∴OC=1.5，OA=4.5，
∵OG⊥AB，CF⊥AB，
∴OG∥CF，
∴△AOG∽△ACF，
∴$\frac{OG}{CF}=\frac{AG}{AF}=\frac{AO}{AC}$，
即$\frac{OG}{3\sqrt{3}}=\frac{AG}{3}=\frac{4.5}{6}$，
∴OG=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，AG=$\frac{9}{4}$，
∴BG=$\frac{15}{4}$，
∴BO=$\sqrt{O{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{9\sqrt{3}}{4}）^{2}+（\frac{15}{4}）^{2}}$=6$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．