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【题目】如图 Rt△OAB ,∠A=90°,∠ABO=30°,OB= AB的垂直平分线 CD 分别与 AB、x 轴、y 轴交于点 C、E、D.

(1)求点 E的坐标;

(2)求直线 CD的解析式;

(3)在直线 CD上找一点Q使得三角形O,D,Q为等腰三角形,并求出所有的Q点;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)E(,0);(2)y=﹣ x+2;(3)使得三角形 O,D,Q 为等腰三角形的Q Z 坐标为 Q1(1,﹣+2),Q2(﹣1,+2),Q3,1),Q4,﹣1).

【解析】

根据 DC AB 垂直平分线,得出 C 点为 OB 的中点,再根据 OB 的值,即可求出点 E 的坐标;

先过点C CHx轴,在 RtABO中,根据∠ABO 的度数和 OB 的值求出AB的长,再在 RtCBH 中,求出 OH 的值,得出点 D 的坐标,再设直线CD的解析式,得出 k,b的值,即可求出直线CD的解析式;

分三种情况讨论,分别根据Q点的不同位置求出Q的坐标即可.

(1)DC AB 垂直平分线,OA 垂直 AB,

C 点为 OB 的中点,

∵∠A=90°,DCB=90°,

OACD,

E OB 的中点,

(2)过点 C CHx 轴于点 H,

RtABO 中,∠ABO=30°,

又∵CD 垂直平分 AB,

BC=1,在 RtCBH 中,

∵∠DGO=60°,

设直线 CD 的解析式为:y=kx+b,则,

解得:

存在;

有三种情况;

OD=QD 时,

D(0,2),

4m2=22,解得;m=1 m=﹣1,

OQ=DQ 时,则

解得:

OD=OQ 时,则 解得:m=0,或

∴使得三角形 O,D,Q 为等腰三角形的Q Z 坐标为

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