Question

已知一组数据的平均数为

.

x

，若在这组数据中再添加一个数

.

x

，则所得新数据的方差与原数据的方差相比较（　　）

• A、变大
• B、变小
• C、相等
• D、无法确定

Answer 1

考点：方差

专题：

分析：设原来n个数据x₁，x₂，…x_n的平均数为

.

x

，方差为s²，根据方差的计算公式可得s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，那么（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²=n•s²．若在这组数据中再添加一个数

.

x

，根据平均数的定义得出新数据的平均数为

1

n+1

（n

.

x

+

.

x

）=

.

x

，于是方差为

1

n+1

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²+（

.

x

-

.

x

）²]=

1

n+1

[n•s²+0]=

n

n+1

s²＜s²，进而求解即可．

解答：解：设原来n个数据x₁，x₂，…x_n的平均数为

.

x

，方差为s²，则s²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，
所以（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²=n•s²．
若在这组数据中再添加一个数

.

x

，则所得新数据的平均数为

1

n+1

（n

.

x

+

.

x

）=

.

x

，
方差为

1

n+1

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²+（

.

x

-

.

x

）²]=

1

n+1

[n•s²+0]=

n

n+1

s²＜s²，
即新数据的方差小于原数据的方差．
故选B．

点评：本题考查了方差的定义与意义：一般地，设n个数据，x₁，x₂，…x_n的平均数为

.

x

，则方差S²=

1

n

[（x₁-

.

x

）²+（x₂-

.

x

）²+…+（x_n-

.

x

）²]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．