Question

【题目】如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm，点P从点D出发，沿DA方向匀速向点A运动，速度为2cm/s；同时，点E从点B出发，沿BO方向匀速向点O运动，速度为1cm/s，EF∥BC，交OC于点F．当点P、E中有一点停止运动时，另一点也停止运动，线段EF也停止运动，连接PE、DF（0<t<5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PE∥AB？

（2）设四边形EFDP的面积为y（），求y与t之间的函数关系式．

（3）是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（4）连接FP，是否存在某一时刻t，使得FP⊥AD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=s；（2）；（3）不存在，理由见解析；（4）存在， t=

【解析】

（1）由菱形性质和勾股定理求得菱形的边长，然后利用平行线分线段成比例定理得到，然后将BE=t，DE=16-t，DP=2t代入求解即可；

（2）作PQ⊥OD于Q，利用AA定理判定△DQP∽△DOA，然后根据相似三角形性质求得PQ的长，利用平行线分线段成比例定理求得OF的长，从而利用三角形面积公式求函数解析式；

（3）由（2）问中求得的四边形面积与菱形面积的等量关系列方程求解；

（4）假设存在t，使得FP⊥AD，由AA定理证得△AOD∽△APF，然后根据相似三角形的性质求得，从而列方程求解即可．

解：（1）由题意可知：BE=t，DE=16-t，DP=2t

∵四边形ABCD是菱形，

∴，

，

AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，

∴在Rt△AOD中，

由勾股定理，得

，

∴，

∵PE∥AB，

∴，

即，，

∴，

因此，当t为s时，PE∥AB．

（2）作PQ⊥OD于Q，

∴∠DQP=∠DOA=90°，

又∵∠QDP=∠ODA，

∴△DQP∽△DOA，

∴，

即，，

∴，

∵EF∥BC，

∴，

即，，

∴，

∴

因此，y与t之间的函数关系式为．

（3）假设存在t，使得，

∴，

即，，

∴，

解得，，，均不符合题意，

因此，不存在t，使．

（4）假设存在t，使得FP⊥AD．

∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD=90°，

∴∠AOD=90°，

∵FP⊥AD

∴∠APF=90°，

∴∠AOD=∠APF，

∵∠OAD=∠PAF，

∴△AOD∽△APF

∴

∵，DP=2t

∴AF=，AP=10－2t

∴

∴t=

因此，当t=时，FP⊥AD．