Question

【题目】如图，在ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.

(1)求证：△AOE≌△COF.

(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析

【解析】

（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；

（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF＝AC时，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，AB∥CD，

∴∠AEO＝∠CFO.

在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF(AAS)．

(2)解：当AC＝EF时，四边形AECF是矩形．

理由如下：

由(1)知△AOE≌△COF，∴OE＝OF.

∵AO＝CO，

∴四边形AECF是平行四边形．

又∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．