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【题目】如图,直线轴、轴分别交于点,经过两点的抛物线轴的负半轴的另一交点为,且

1)求该抛物线的解析式及抛物线顶点的坐标;

2)点是射线上一点,问是否存在以点为顶点的三角形,与相似,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由

【答案】1,顶点;(2)存在,

【解析】

1)利用直线解析式求出点AC的坐标,从而得到OAOC,再根据tanCBO=3求出OB,从而得到点B的坐标,然后利用待定系数法求出二次函数解析式,整理成顶点式形式,然后写出点D的坐标;

2)根据点AB的坐标求出AB,判断出AOC是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求出AC,∠BAC=45°,再根据点BD的坐标求出∠ABD=45°,然后分①ABBP是对应边时,ABCBPA相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BP,过点PPEx轴于E,求出BEPE,再求出OE的长度,然后写出点P的坐标即可;②ABBA是对应边时,ABCBAP相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BP,过点PPEx轴于E,求出BEPE,再求出OE的长度,然后写出点P的坐标即可.

解:(1)令y=0,则x+3=0
解得x=-3
x=0,则y=3
A-30),C03),
∴OA=OC=3
∵tan∠CBO=
∴OB=1
B-10),
把点ABC的坐标代入抛物线解析式得,

,解得:

∴该抛物线的解析式为:

∵y=x2+4x+3=x+22-1

∴顶点

2∵A-30),B-10),
∴AB=-1--3=2
∵OA=OC∠AOC=90°
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴AC=OA=3∠BAC=45°
∵B-10),D-2-1),
∴∠ABD=45°
①ABBP是对应边时,△ABC∽△BPA


解得BP=
过点PPE⊥x轴于E


BE=PE=×=
∴OE=1+=
P的坐标为(--);
②ABBA是对应边时,△ABC∽△BAP


解得BP=
过点PPE⊥x轴于E
BE=PE=×=3
∴OE=1+3=4
P的坐标为(-4-3);

综合上述,当时,以点为顶点的三角形与相似;

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