【题目】如图,直线与轴、轴分别交于点,,经过,两点的抛物线与轴的负半轴的另一交点为,且
(1)求该抛物线的解析式及抛物线顶点的坐标;
(2)点是射线上一点,问是否存在以点,,为顶点的三角形,与相似,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由
【答案】(1),顶点;(2)存在,或
【解析】
(1)利用直线解析式求出点A、C的坐标,从而得到OA、OC,再根据tan∠CBO=3求出OB,从而得到点B的坐标,然后利用待定系数法求出二次函数解析式,整理成顶点式形式,然后写出点D的坐标;
(2)根据点A、B的坐标求出AB,判断出△AOC是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质求出AC,∠BAC=45°,再根据点B、D的坐标求出∠ABD=45°,然后分①AB和BP是对应边时,△ABC和△BPA相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BP,过点P作PE⊥x轴于E,求出BE、PE,再求出OE的长度,然后写出点P的坐标即可;②AB和BA是对应边时,△ABC和△BAP相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BP,过点P作PE⊥x轴于E,求出BE、PE,再求出OE的长度,然后写出点P的坐标即可.
解:(1)令y=0,则x+3=0,
解得x=-3,
令x=0,则y=3,
∴点A(-3,0),C(0,3),
∴OA=OC=3,
∵tan∠CBO=,
∴OB=1,
∴点B(-1,0),
把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得,
,解得:,
∴该抛物线的解析式为:,
∵y=x2+4x+3=(x+2)2-1,
∴顶点;
(2)∵A(-3,0),B(-1,0),
∴AB=-1-(-3)=2,
∵OA=OC,∠AOC=90°,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴AC=OA=3,∠BAC=45°,
∵B(-1,0),D(-2,-1),
∴∠ABD=45°,
①AB和BP是对应边时,△ABC∽△BPA,
∴,
即,
解得BP=,
过点P作PE⊥x轴于E,
则BE=PE=×=,
∴OE=1+=,
∴点P的坐标为(-,-);
②AB和BA是对应边时,△ABC∽△BAP,
∴,
即,
解得BP=,
过点P作PE⊥x轴于E,
则BE=PE=×=3,
∴OE=1+3=4,
∴点P的坐标为(-4,-3);
综合上述,当或时,以点,,为顶点的三角形与相似;
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线G:与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点;一次函数()的图像为直线.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)当1≤x≤2时,≤≤,试说明:抛物线G的顶点不在直线上;
(3)设,直线与线段AC交于D点,与y轴交于E点,与抛物线G的对称轴交于F 点,当A、C两点到直线距离相等时,是否存在整数n,使F点在直线BE的上方?若存在,求n的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在如图所示的三个函数图象中,有两个函数图象能近似地刻画如下a,b两个数学问题:
问题a:矩形面积为4,它的长y与宽x之间的函数关系;
问题b:矩形周长为8,它的长y与宽x之间的函数关系.
(1)问题a,b所对应的函数图象分别为 ,(填写序号);
(2)请你把剩下的函数图象写出一个适合的数学问题.
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【题目】如图,是的直径,点在上,点为弦的中点,射线与圆周及切线分别交于点和点,连接.
(1)求证:直线是的切线;
(2)若直径,填空:①连接,当_________时,四边形是菱形;
②当________时,四边形是正方形.
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【题目】为了维护国家主权和海洋权力,海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理,如图,正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行,在处测得灯塔在北偏东方向上,继续航行1小时到达处,此时测得灯塔在北偏东方向上.
(1)求的度数;
(2)已知在灯塔的周围25海里内有暗礁,问海监船继续向正东方向航行是否安全?
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【题目】为了解今年初三学生的数学学习情况,某校在第一轮模拟测试后,对初三全体同学的数学成绩作了统计分析,绘制如下图表:请结合图表所给出的信息解答系列问题:
(1)该校初三学生共有多少人?
(2)求表中a,b,c的值,并补全条形统计图.
(3)初三(一)班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍,求恰好选中甲、乙两位同学的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到的指令是:从原点O出发,按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动,每次移动1个单位长度,其移动路程如图所示,第一次移动到点A1,第二次移动到点A2,第n次移动到点An,则点A2020的坐标是( )
A.(1010,0)B.(1010,1)C.(1009,0)D.(1009,1)
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【题目】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”小辉同学根据原文题意,画出圆材截面图如图所示,已知:锯口深为 1寸,锯道AB=1尺(1尺=10寸),则该圆材的直径为( )
A.13B.24C.26D.28
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【题目】如图,已知正方形与,点E在上,且为的中点,点在线段的反向廷长线上.请利用无刻度的直尺按下列要求画图(保留画图的痕迹).
(1)在图1中,画出的中点;
(2)在图2中,画出的垂直平分线.
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