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【题目】如图,已知直线与两坐标轴分别交于AB两点,抛物线 经过点AB,点P为直线AB上的一个动点,过Py轴的平行线与抛物线交于C, 抛物线与x轴另一个交点为D

1)求图中抛物线的解析式;

2)当点P线段AB上运动时,求线段PC的长度的最大值;

3)在直线AB上是否存在点P,使得以OAPC为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出此时点P 的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2)当时,线段PC有最大值是2;(3

【解析】

x=0y=0分别代入解析式可求点A,点B坐标,由待定系数法可求解析式;

设点C,可求PC,由二次函数的性质可求解;

设点P的坐标为(x,x+2),则点C,分三种情况讨论,由平行四边形的性质可出点P的坐标.

解:(1)可求得 A0,2 ),B(4,0 )

抛物线经过点A和点B

(0,2),(4,0)分别代入得:

解得:

抛物线的解析式为.

2)设点P的坐标为(x,x+2),则C

P在线段AB

时,线段PC有最大值是2

3)设点P的坐标为(x,x+2)

∵PC⊥x轴,

C的横坐标为x,又点C在抛物线上,

C(x,)

当点P在第一象限时,假设存在这样的点P,使四边形AOPC为平行四边形,

OA=PC=2,

化简得:

解得x1=x2=2x=2代入

则点P的坐标为(2,1)

当点P在第二象限时,假设存在这样的点P,使四边形AOCP为平行四边形,

OA=PC=2,

化简得:

解得:

则点P的坐标为;

当点P在第四象限时,假设存在这样的点P,使四边形AOCP为平行四边形,

OA=PC=2,

化简得:

解得:

则点P的坐标为

综上,使以OA.PC为顶点的四边形是平行四边形,

满足的点P的坐标为.

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