【题目】如图,已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点,抛物线 经过点A、B,点P为直线AB上的一个动点,过P作y轴的平行线与抛物线交于C点, 抛物线与x轴另一个交点为D.
(1)求图中抛物线的解析式;
(2)当点P在线段AB上运动时,求线段PC的长度的最大值;
(3)在直线AB上是否存在点P,使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出此时点P 的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)当时,线段PC有最大值是2;(3),,
【解析】
把x=0,y=0分别代入解析式可求点A,点B坐标,由待定系数法可求解析式;
设点C,可求PC,由二次函数的性质可求解;
设点P的坐标为(x,x+2),则点C,分三种情况讨论,由平行四边形的性质可出点P的坐标.
解:(1)可求得 A(0,2 ),B(4,0 )
∵抛物线经过点A和点B
∴把(0,2),(4,0)分别代入得:
解得:
∴抛物线的解析式为.
(2)设点P的坐标为(x,x+2),则C()
∵点P在线段AB上
∴
∴当时,线段PC有最大值是2
(3)设点P的坐标为(x,x+2),
∵PC⊥x轴,
∴点C的横坐标为x,又点C在抛物线上,
∴点C(x,)
①当点P在第一象限时,假设存在这样的点P,使四边形AOPC为平行四边形,
则OA=PC=2,即,
化简得:,
解得x1=x2=2把x=2代入
则点P的坐标为(2,1)
②当点P在第二象限时,假设存在这样的点P,使四边形AOCP为平行四边形,
则OA=PC=2,即,
化简得:,
解得:
把,
则点P的坐标为;
③当点P在第四象限时,假设存在这样的点P,使四边形AOCP为平行四边形,
则OA=PC=2,即,
化简得:,
解得:
把
则点P的坐标为
综上,使以O、A.P、C为顶点的四边形是平行四边形,
满足的点P的坐标为.
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【题目】如图,以等腰△ABC的一腰AC为直径作⊙O,交底边BC于点D,过点D作腰AB的垂线,垂足为E,交AC的延长线于点F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)证明:∠CAD=∠CDF;
(3)若∠F=30°,AD=,求⊙O的面积.
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【题目】2017年5月14日至15日,“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行,本届论坛期间,中国同30多个国家签署经贸合作协议,某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区,已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同,3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元?
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元,则至少销售甲种商品多少万件?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C1,平移△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(0,﹣4),画出平移后对应的△A2B2C2;
(2)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标.
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【题目】为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=﹣2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式.
(2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元?
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【题目】已知△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4.D是AB的中点,P是平面上的一点,且DP=1,连接BP、CP,将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B′,连CB′,CB′的最大值是_____.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,点E在x轴上.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)在抛物线A、C两点之间有一点F,使△FAC的面积最大,求F点坐标;
(3)直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等?若存在,请求出点P,若不存在,请说明理由.
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