【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3,0),点C(0,3),点D为二次函数的顶点,DE为二次函数的对称轴,点E在x轴上.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)在抛物线A、C两点之间有一点F,使△FAC的面积最大,求F点坐标;
(3)直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等?若存在,请求出点P,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3,D(﹣1,4);(2)F点坐标为(﹣,);(3)存在,满足条件的P点坐标为(﹣1,﹣1)或(﹣1,﹣﹣1)
【解析】
(1)把代入得得到关于的方程组,然后解方程组即可求出抛物线解析式,再把解析式配成顶点式可得D点坐标;
(2)如图2,作FQ∥y轴交AC于Q,先利用待定系数法求出直线AC的解析式,设,则,则可表示出,,根据三角形面积公式结合二次函数的性质即可求解;
(3)设,根据得到,最后分两种情况求解即可得出结论.
解:(1)把代入得
,
∴ ,
∴抛物线的解析式为:,
∵,
∴点D的坐标为:;
(2)如图2,作FQ∥y轴交AC于Q,
设直线AC的解析式为,
把代入,
得,
解得,
∴直线AC的解析式为: .
设,则,
∴,
∴=,
当时,△FAC的面积最大,此时F点坐标为(﹣,),
(3)存在.
∵D(﹣1,4),A(﹣3,0),E(﹣1,0),
∴,
设,则,,如图3,
∵∠HDP=∠EDA,∠DHP=∠DEA=90°
∴,
∴,
∴,
当t>0时,,解得:,
当t<0时,,解得: ,
综上所述,满足条件的P点坐标为或
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个小正方形的顶点叫格点,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1;
(2)画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1;
(3)△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗?如果是,请直接写出对称轴所在直线的解析式.
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【题目】如图,已知直线与两坐标轴分别交于A、B两点,抛物线 经过点A、B,点P为直线AB上的一个动点,过P作y轴的平行线与抛物线交于C点, 抛物线与x轴另一个交点为D.
(1)求图中抛物线的解析式;
(2)当点P在线段AB上运动时,求线段PC的长度的最大值;
(3)在直线AB上是否存在点P,使得以O、A、P、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出此时点P 的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线上是否存在一点P,使得∠APB=∠ACO成立?若存在,求出点P的坐标:若不存在,请说明理由.
(3)我们规定:对于直线l1:y=k1x+b,直线l2:y=k2x+b2,若直线k1k2=﹣1,则直线l1⊥l2;反过来也成立.请根据这个规定解决下列可题:
如图2,将该抛物线向上平移过原点与直线y=kx(k>0)另交于C点.点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点,过点T作直线TM⊥OC′,重足为点M,且M在线段OC′上(不与O、C′重合),过点T作直线TN∥y轴交OC'于点N.若在点T运动的过程中,为常数,试确定k的值.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示,它与x轴、y轴的交点分别为A,B,点P是其对称轴x=1上的动点,根据图中提供的信息,给出以下结论:①2a+b=0;②x=3是ax2+bx+3=0的一个根;③△PAB周长的最小值是+3.其中正确的是________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,M、N、C三点的坐标分别为(,1),(3,1),(3,0),点A为线段MN上的一个动点,连接AC,过点A作AB⊥AC交y轴于点B,当点A从M运动到N时,点B随之运动,设点B的坐标为(0,b),则b的取值范围是( )
A.≤b≤1B.≤b≤1C.≤b≤D.≤b≤1
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【题目】已知:平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根.
(1)m为何值时,四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长;
(2)若AB的长为2,那么ABCD的周长是多少?
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