Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，﹣3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上是否存在一点P，使得∠APB＝∠ACO成立？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由.

(3)我们规定：对于直线l1：y＝k1x+b，直线l2：y＝k2x+b2，若直线k1k2＝﹣1，则直线l1⊥l2；反过来也成立.请根据这个规定解决下列可题：

如图2，将该抛物线向上平移过原点与直线y＝kx(k＞0)另交于C点.点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC′，重足为点M，且M在线段OC′上(不与O、C′重合)，过点T作直线TN∥y轴交OC'于点N.若在点T运动的过程中，为常数，试确定k的值.

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3；(2)存在，点P(﹣，或(﹣，﹣)；(3)k＝.

【解析】

(1)抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣3)＝a(x2﹣2x﹣3)，即可求解；

(2)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可；

(3)OM＝＝，ON＝m，即可求解.

解：(1)抛物线的表达式为：y＝a(x+1)(x﹣3)＝a(x2﹣2x﹣3)，

即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；

(2)tan∠APB＝tan∠ACO＝，

①当点P在x轴上方时，

则直线BP的表达式为：y＝﹣x+1…②，

联立①②并解得：x＝3(舍去)或﹣，故点P(﹣，)；

②当点P在x轴下方时，

同理可得：点P(﹣，﹣)；

综上，点P(﹣，或(﹣，﹣)；

(3)设点T(m，m2﹣2m)，直线ON的表达式为：y＝kx…③，

∵TM⊥OC，则直线TM为：y＝﹣x+b，

将点T的坐标代入上式并解得：

直线TM的表达式为：y＝﹣x+(m2﹣2m+)…④，

联立③④并解得：x＝，y＝，

则OM＝＝，ON＝m，

＝，

当k＝时，＝为常数.