【题目】如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(2)证明:在运动过程中,点D是线段PQ的中点;
(3)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
【答案】
(1)
解:设AP=x,则BQ=x,
∵∠BQD=30°,∠C=60°,
∴∠QPC=90°,
∴QC=2PC,即x+6=2(6﹣x),
解得x=2,
即AP=2
(2)
证明:如图,
过P点作PF∥BC,交AB于F,
∵PF∥BC,
∴∠PFA=∠FPA=∠A=60°,
∴PF=AP=AF,
∴PF=BQ,
又∵∠BDQ=∠PDF,∠DBQ=∠DFP,
∴△DQB≌△DPF,
∴DQ=DP即D为PQ中点
(3)
运动过程中线段ED的长不发生变化,是定值为3,
理由:∵PF=AP=AF,PE⊥AF,
∴ ,
又∵△DQB≌△DPF,
∴ ,
∴
【解析】(1)先判断出∠QPC是直角,再利用含30°的直角三角形的性质得出QC=2PC,建立方程求解决即可;(2)先作出PF∥BC得出∠PFA=∠FPA=∠A=60°,进而判断出△DQB≌△DPF得出DQ=DP即可得出结论;(3)利用等边三角形的性质得出EF= AF,借助DF=DB,即可得出DF=
BF,最后用等量代换即可.
【考点精析】掌握等边三角形的性质是解答本题的根本,需要知道等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知∠AOB=45°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1 , O,P2三点构成的三角形是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】下面事件是随机事件的是( )
A.掷一枚硬币,出现反面
B.在标准大气压下,水加热到8℃时会沸腾
C.实数的绝对值不小于零
D.如果a,b是实数,那么ab=ba
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB=AC,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD相交于点O.
(1)求证:AD=AE;
(2)试猜想:OA与BC的位置关系,并加以证明.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某中学举行数学竞赛,计划用A、B两台复印机复印试卷.如果单独用A机器需要90分钟印完,如果单独用B机器需要60分钟印完,为了保密的需要,不能过早复印试卷,学校决定在考试前由两台复印机同时复印.
(1)两台复印机同时复印,共需多少分钟才能印完?
(2)若两台复印机同时复印30分钟后,B机出了故障,暂时不能复印,此时离发卷还有13分钟.请你算一下,如果由A机单独完成剩下的复印任务,会不会影响按时发卷考试?
(3)在(2)的问题中,B机经过紧急抢修,9分钟后修好恢复正常使用,请你再计算一下,学校能否按时发卷考试?
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