Question

【题目】若关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3=0（m为实数）．

（1）求证：不论m为何值，该方程均有两个不等的实根；

（2）解方程求出两个根x1，x2（x1＞x2），并求w=x1（x1+x2）+x12的最值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）－.

【解析】

（1）根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出的关于x的一元二次方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3=0（m为实数）的根的情况；

（2）用因式分解法求得方程的两个根，代入w中，化简并配方可得最小值．

（1）△=[2（m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣2m﹣3）=16＞0，∴不论m为何值，该方程均有两个不等的实根；

（2）x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m﹣3=0，（x+m﹣3）（x+m+1）=0．

∵x1＞x2，∴x1=﹣m+3，x2=﹣m﹣1，∴w=x1（x1+x2）+=（﹣m+3）（﹣2m+2）+（﹣m+3）2=3m2﹣14m+15=3（m﹣）2﹣．

∵3＞0，∴w有最小值是﹣．