Question

如图所示，将△ABC沿直线BC方向平移△DEF的位置，G是DE上一点，连接AG，过点A、D作直线MN．
（1）求证：∠AGE=∠GAD+∠ABC；
（2）若EDF=∠DAG，∠CAG+∠CEG=180°，判断AG与DE的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：平行线的判定与性质,多边形内角与外角

专题：计算题

分析：（1）利用平移的性质得到AB与DE平行且相等，得到四边形ABED为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对角相等，利用外角性质即可得证；
（2）AG垂直与DE，理由为：由平移的性质得到∠EDF=∠BAC，根据∠EDF=∠DAG，等量代换得到∠BAC=∠DAG，由AB与DE平行，利用两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，等量代换得到∠ABC=∠CAG，利用等式的性质及平行线的性质即可得证．

解答：解：（1）由平移的性质得：△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，AB∥DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴AD∥BF，∠ADG=∠ABC，
∴∠ADG=∠DEF，
∴∠ABC=∠DEF=∠ADG，
∵∠AGE为△ADG的外角，
∴∠AGE=∠DAG+∠ADG=∠GAD+∠ABC；
（2）AG⊥DE，理由为：
由平移的性质得到∠EDF=∠BAC，
∵∠EDF=∠DAG，
∴∠BAC=∠DAG，
∵AB∥DE，
∴∠ABC+∠BEG=180°，
∵∠CAG+∠CEG=180°，
∴∠ABC=∠CAG，
∵MN∥BC，∴∠ABC=∠MAB，
∴∠MAB=∠CAG，
∵∠MAB+∠BAC+∠CAG+∠DAG=180°，
∴∠CAG+∠BAC=90°，即∠BAG=90°，
∵AB∥DE，
∴∠BAG+∠AGD=90°，
则AG⊥DE．

点评：此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．