Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于D，∠ABC的平分线交直线AD于I．
（1）写出∠BID与∠C的关系，并证明；
（2）若∠ABC的外角平分线交直线AD于I，其余条件不变，则∠BID与∠ACB有何关系？试证明．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）根据角平分线的性质得∠BAI=

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2

∠BAC，∠ABI=

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2

∠ABC，然后根据三角形外角性质得到∠BID=∠BAI+∠ABI=

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2

（∠ABC+∠ABC），再利用三角形内角和定理易得∠BID=90°-

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2

∠C；
（2）如图，利用角平分线的定义得到∠BAI=

1

2

∠BAC，∠EBI=

1

2

∠EBC，再利用三角形外角性质得∠EBC=∠BID+∠BAI，∠EBC=∠BAC+∠C，然后利用等式的性质即可得到∠BID=

1

2

∠C．

解答：解：（1）∠BID=90°-

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2

∠C．理由如下：
∵IA平分∠BAC，IB平分∠ABC，
∴∠BAI=

1

2

∠BAC，∠ABI=

1

2

∠ABC，
∴∠BID=∠BAI+∠ABI=

1

2

（∠ABC+∠ABC）=

1

2

（180°-∠C）=90°-

1

2

∠C；

（2）∠BID=

1

2

∠ACB．理由如下：
如图，∵IA平分∠BAC，IB平分∠EBC，
∴∠BAI=

1

2

∠BAC，∠EBI=

1

2

∠EBC，
∵∠EBC=∠BID+∠BAI，
∠EBC=∠BAC+∠C，
∴2∠BID+2∠BAI=∠BAC+∠C，
∴∠BID=

1

2

∠C．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了角平分线的定义和三角形外角性质．