Question

已知如图1，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，线段CB、DE相交于点F，点A在平行于BE的直线AD上，过点C作CM⊥AD于M．
（1）当点A在点D的左侧时，求证：CM=AD；
（2）如图2，当点A在点D的右侧时，点B关于DE的对称点落在直线AD的G点处，当CF=13时，求线段GF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据全等三角形的判定定理证明一对三角形全等，即可解决问题．
（2）通过证明一对三角形全等得到两个角相等，进而证明四点共圆；借助圆内接四边形的性质及正方形的性质即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，∵△ABC，△BDE均是等腰直角三角形，
∴AC=AB，∠BAC=∠DBE=90°；
又∵AD∥BE，CM⊥AD，
∴∠ADB+∠DBE=180°，∠AMC=90°，
∴∠ADB=180°-90°=90°，
故∠ADB=∠AMC=90°；
∵∠CAB=90°，
∴∠MCA+∠CAM=∠DAB+∠CAB=90°，
∴∠MCA=∠DAB；
在△MCA与△DAB中，

∠MCA=∠DAB ∠CMA=∠ADB AC=AB

，
∴△MCA≌△DAB（AAS），
∴CM=AD．

（2）如图2，连接BG、EG、CG；
∵CM⊥AM，∠CAB=90°，
∴∠MCA+∠MAC=∠MAC+∠DAB=90°，
∴∠MCA=∠DAB；
在△MCA与△DAB中，

∠MCA=∠DAB ∠CMA=∠ADB AC=AB

，
∴△MCA≌△DAB（AAS），
∴∠CAG=∠ABD；
∵B、G两点关于DE对称，
∴DG=DB，EB=EG；
而EB=DB，
∴DG=DB=EB=EG，
而∠DBE=90°，
∴四边形BDGE为正方形，∠DBG=45°，
而∠ABC=45°，
∴∠CBG=∠ABD，
而∠CAG=∠ABD，
∴∠CBG=∠CAG，
故A、B、G、C四点共圆；
∵∠CAB=90°，
∴∠BGC=180°-90°=90°；
∵B、G两点关于DE对称，
∴FG=FB，
∴∠FGB=∠FBG；
而∠FBG+∠FCG=∠FGB+∠FGC=90°，
∴∠FCG=∠FGC，
故GF=CF，
而CF=13，
∴GF=13．

点评：该题考查了全等三角形的判定及其性质、等腰直角三角形的性质及其应用问题；同时，还渗透了对四点共圆的判定、正方形的性质等几何知识的考查；对分析问题解决问题的能力提出了更高的要求．