Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：CD=2BE，理由为：延长BE交CA延长线于F，由CD为角平分线得到一对角相等，再由一对直角相等，CE为公共边，利用ASA得到三角形CEF与三角形CEB全等，利用全等三角形对应边相等得到FE=BE，利用等角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用ASA得到三角形ABF与三角形ACD全等，利用全等三角形的性质得到CD=BF，等量代换即可得证．

解答：解：CD=2BE，理由为：
延长BE交CA延长线于F，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE=∠BCE，
在△CEF和△CEB中，

∠FCE=∠BCE CE=CE ∠CEF=∠CEB=90°

，
∴△CEF≌△CEB（ASA），
∴FE=BE，
∵∠DAC=∠CEF=90°，
∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°，
∴∠ACD=∠ABF，
在△ACD和△ABF中，

∠ACD=∠ABF AC=AB ∠CAD=∠BAF=90°

，
∴△ACD≌△ABF（ASA），
∴CD=BF，
∴CD=2BE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．