Question

如图，已知AB为⊙O直径，DC与⊙O相切于点C，AD⊥DC于D，AD交⊙O于E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若CD=12，AD=16，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OC，由直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，易证得OC∥AD，继而可得AC平分∠DAB；
（2）连接BC，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例以及余弦定理，即可求得答案．

解答：（1）证明：连接OC．
∵直线DC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥DC，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
即AC平分∠DAB；

（2）解：连接BC．
在△ACD中，∵∠ADC=90°，CD=12，AD=16，
∴AC=

AD2+CD2

=20．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
在△ADC与△ACB中，

∠ADC=∠ACB ∠DAC=∠CAB

，
∴△ADC∽△ACB，
∴

CD

BC

=

AD

AC

，
即

12

BC

=

16

20

，
解得：BC=15．
在△BCD中，∵BC=15，CD=12，∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cos∠BCD
=15²+12²-2×15×12•cos（90°+∠ACD）
=225+144-360•[-sin∠ACD]
=225+144+360×

16

20

=225+144+288
=657，
∴BD=

657

=3

73

．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及余弦定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．