Question

如图，△ABC边AB、BC的垂直平分线交于点P．
（1）求证：点P在AC垂直平分线上；
（2）若∠BAC=80°，求∠BPC度数；
（3）求证：∠ABP+∠ACB为定值．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）由△ABC边AB、BC的垂直平分线交于点P，根据线段垂直平分线的性质，可得PA=PB=PC，即可证得点P在AC垂直平分线上；
（2）由PA=PB=PC，可得A，B，C在以P为圆心，PA为半径的圆上，又由圆周角定理，即可得∠BPC=2∠BAC=2×80°=160°；
（3）由线段垂直平分线的性质，易证得∠ABP=∠BAE=∠CAE，继而可得∠ABP+∠ACB=90°．

解答：（1）证明：∵△ABC边AB、BC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PB=PC，
∴PA=PC，
∴点P在AC垂直平分线上；

（2）解：∵PA=PB=PC，
∴A，B，C在以P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠BPC=2∠BAC=2×80°=160°；

（3）证明：∴PA=PB，
∴∠ABP=∠BAE，
∵AE是BC的垂直平分线，
∴AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠ABP=∠CAE，
∴∠ABP+∠ACB=∠CAE+∠ACB=90°，
即∠ABP+∠ACB为定值．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．