Question

正方形ABCD边长为2，与函数x=

k

y

（x＞0）的图象交于E、F两点，其中E位于线段CD上，正方形ABCD可向右平移，初始位置如图所示，此时，△DEF的面积为

9

8

．正方形ABCD在向右平移过程中，位于线段EF上方部分的面积记为S，设C点坐标为（t，0）
（1）求k的值；
（2）试写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）若S=2，求t的值；
（4）正方形ABCD在向右平移过程中，是否存在某些位置，沿线段EF折叠，使得D点恰好落在BC边上？若存在，确定这些位置对应t的值得大致范围（误差不超过0.1）；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）利用对称性可设出E、F的两点坐标，表示出△DEF的面积，可求出k的值；
（2）分F点在AB上和在AD上两种情况，即2≤t≤

5

2

和t＞

5

2

两种情况，可以表示出E、F两点的坐标，从而表示出面积S；
（3）分2≤t≤

5

2

和t＞

5

2

两种情况分别令S=2，求出t的值，再判断是否符合题意即可；
（4）当2≤t≤

5

2

时，假设位置存在，由对称性知Rt△FDE∽Rt△DCD₁，利用相似三角形的性质，得到关于t的方程，解出t但不在范围之内，当t＞

5

2

时，假设位置存在，过F作直线FG∥x轴交CD于G，由对称性可知Rt△FGE≌Rt△DCD₁，利用全等得到线段的关系，得到关于t的方程，利用试值法进行判断可求出t的取值范围．

解答：解：（1）由题设可知S_△DEF=

1

2

（2-k）²=

9

8

，
解得k=1；
（2）①如图1，当2≤t≤

5

2

时，
因为C点坐标为（t，0），
所以E点坐标为（t，

1

t

），
所以DE=2-

1

t

，
而F点坐标为（

1

2

，2），
所以DF=t-

1

2

，
所以S=

1

2

DE•DF=

1

2

（2-

1

t

）（t-

1

2

）=t+

1

4t

-1；

②如图2，当t＞

5

2

时，此时OB=t-2，
所以F点的坐标为（t-2，

1

t-2

），
所以AF=2-

1

t-2

，
所以S=

1

2

•2•（DE+AF）=

1

2

•2•（2-

1

t

+2-

1

t-2

）=4-

1

t

-

1

t-2

；

（3）当2≤t≤

5

2

时，DE和DF随t的增大而增大，S也类似，
故当t=

5

2

时S有最大值为

8

5

＜2，
所以S=2只可能发生在t＞

5

2

时，令4-

1

t

-

1

t-2

=2，
解得t=

3+ 5

2

；
（4）①如图3，当2≤t≤

5

2

时，假设位置存在，由对称性知Rt△FDE∽Rt△DCD₁，
因为DE=D₁E，
则有

FD

DE

=

DC

D1C

，
其中D₁C=

DE2-EC2

=

(2- 1 t )2-( 1 t )2

，
整理得：t（t-1）=4，
解得t=

1+ 17

2

＞

5

2

，与假设矛盾，
所以当2≤t≤

5

2

时，不存在；

②如图4，当t＞

5

2

时，假设位置存在，过F作直线FG∥x轴交CD于G，
由对称性可知Rt△FGE≌Rt△DCD₁，DE=D₁E，所以GE=D₁C，
而GE=

1

t-2

-

1

t

，整理可得t（t-1）（t-2）²=1，
设y=t（t-1）（t-2）²，当t＞2时，y随t的增大而增大，
取t=2.5，则y=0.9375＜1，取t=2.6，则y=1.4976＞1，
利用试值法可以判断位置存在且唯一，对应的t的取值在2.5和2.6之间．

点评：本题主要考查反比例函数与三角形相似、全等的综合运用，利用t表示出线段的长度，并且分2≤t≤

5

2

和t＞

5

2

两种情况是解题的关键．