Question

1．如图，一次函数y=-x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC=3．在直线AB上有一点P，若满足∠CPB＞∠ACB，则点P横坐标x的取值范围是-4＜x＜2且x≠0．

Answer 1

分析 首先利用一次函数解析式得出AO，BO的长，再利用勾股定理得出AC，AB的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．

解答 解：如图所示：过点P₁作P₁E⊥x轴于点E，
∵一次函数y=-x+1的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在y轴的正半轴上，且OC=3，
∴AO=BO=1，则BC=2，AC=$\sqrt{10}$，AB=$\sqrt{2}$，
当∠CP₁B=∠ACB时，
又∵∠CAB=∠CAP₁，
∴△CAB∽△P₁AC，
∴$\frac{AC}{A{P}_{1}}$=$\frac{AB}{AC}$，
则$\frac{\sqrt{10}}{A{P}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$，
解得：AP₁=5$\sqrt{2}$，
则AE=P₁E=5，
故P₁（-4，5），
当∠CPB＞∠ACB时，则点P横坐标x满足：-4＜x，
同理可得：当∠CP₂B=∠ACB时，
又∵∠ABC=∠P₂BC，
∴△CAB∽△P₂CB，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BC}{B{P}_{2}}$，
则$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{2}{B{P}_{2}}$，
解得：BP₂=2$\sqrt{2}$，
可得P₂（2，-1），
故当∠CPB＞∠ACB时，则点P横坐标x满足：2＞x，当x=1时，A，P点重合，不合题意舍去．
综上所述：-4＜x＜2且x≠0．
故答案为：-4＜x＜2且x≠0．

点评 此题主要考查了一次函数综合以及相似三角形的判定与性质，利用分类讨论得出是解题关键．