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【题目】已知等边AOB的边长为4,以O为坐标原点,OB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.

1)求点A的坐标;

2)若直线ykxk0)与线段AB有交点,求k的取值范围;

3)若点Cx轴正半轴上,以线段AC为边在第一象限内作等边ACD,求直线BD的解析式.

【答案】1)点A的坐标为(22);(20k;(3yx4

【解析】

1)如下图所示,过点AADx轴于点D,则ADOAsinAOB4sin60°2,同理OA2,即可求解;

2)若直线ykxk0)与线段AB有交点,当直线过点A时,将点A坐标代入直线的表达式得:2k2,解得:k,即可求解;

3)证明ACO≌△ADBSAS),而∠DBC180°﹣∠ABO﹣∠ABD180°60°60°60°,即可求解.

解:(1)如下图所示,过点AADx轴于点D

ADOAsinAOB4sin60°

同理OA2

故点A的坐标为(22);

2)若直线ykxk0)与线段AB有交点,

当直线过点A时,将点A坐标代入直线的表达式得:2k2,解得:k

直线OB的表达式为:y0,而k0

故:k的取值范围为:0k

3)如下图所示,连接BD

∵△OAB是等边三角形,∴AOAB

∵△ADC为等边三角形,∴ADAC

OAC=∠OAB+CAB60°+CAB=∠DAC+CAB=∠DAB

∴△ACO≌△ADBSAS),

∴∠AOB=∠ABD60°

∴∠DBC180°﹣∠ABO﹣∠ABD180°60°60°60°

故直线BD表达式的k值为tan60°=

设直线BD的表达式为:yx+b

将点B40)代入上式得

解得:b=﹣4

故:直线BD的表达式为:yx4

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