【题目】已知等边△AOB的边长为4,以O为坐标原点,OB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求点A的坐标;
(2)若直线y=kx(k>0)与线段AB有交点,求k的取值范围;
(3)若点C在x轴正半轴上,以线段AC为边在第一象限内作等边△ACD,求直线BD的解析式.
【答案】(1)点A的坐标为(2,2);(2)0<k≤;(3)y=x﹣4
【解析】
(1)如下图所示,过点A作AD⊥x轴于点D,则AD=OAsin∠AOB=4sin60°=2,同理OA=2,即可求解;
(2)若直线y=kx(k>0)与线段AB有交点,当直线过点A时,将点A坐标代入直线的表达式得:2k=2,解得:k=,即可求解;
(3)证明△ACO≌△ADB(SAS),而∠DBC=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=180°﹣60°﹣60°=60°,即可求解.
解:(1)如下图所示,过点A作AD⊥x轴于点D,
则AD=OAsin∠AOB=4sin60°=,
同理OA=2,
故点A的坐标为(2,2);
(2)若直线y=kx(k>0)与线段AB有交点,
当直线过点A时,将点A坐标代入直线的表达式得:2k=2,解得:k=,
直线OB的表达式为:y=0,而k>0,
故:k的取值范围为:0<k≤;
(3)如下图所示,连接BD,
∵△OAB是等边三角形,∴AO=AB,
∵△ADC为等边三角形,∴AD=AC,
∠OAC=∠OAB+∠CAB=60°+∠CAB=∠DAC+∠CAB=∠DAB,
∴△ACO≌△ADB(SAS),
∴∠AOB=∠ABD=60°,
∴∠DBC=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=180°﹣60°﹣60°=60°,
故直线BD表达式的k值为tan60°=,
设直线BD的表达式为:y=x+b,
将点B(4,0)代入上式得
解得:b=﹣4,
故:直线BD的表达式为:y=x﹣4.
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【题目】如图,抛物线y=ax2﹣4和y=﹣ax2+4都经过x轴上的A、B两点,两条抛物线的顶点分别为C、D.当四边形ACBD的面积为40时,a的值为_____.
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【题目】如图,已知A(3,0),B(0,-1),连接AB,过B点作AB的垂线段,使BA=BC,连接AC.
(1)如图1,求C点坐标;
(2)如图2,若P点从A点出发,沿x轴向左平移,连接BP,作等腰直角三角形△BPQ,连接CQ.求证:PA=CQ.
(3)在(2)的条件下,若C、P、Q三点共线,求此时P点坐标及∠APB的度数.
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【题目】4张相同的卡片分别写着数字-1、-3、4、6,将卡片的背面朝上,并洗匀.
(1)从中任意抽取1张,抽到的数字是奇数的概率是________;
(2)从中任意抽取1张,并将所取卡片上的数字记作一次函数中的k;再从余下的卡片中任意抽取1张,并将所取卡片上的数字记作一次函数中的b.利用画树状图或列表的方法,求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率.
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【题目】为进一步推进青少年毒品预防教育“6·27“工程,切实提高广大青少年识毒、防毒、拒毒的意识和能力,甘肃省各市高度重视全国青少年禁毒知识竞赛活动,强化措施落实,落实工作责任,取得了一定成绩.某市实验中学针对该校九年级学生的知识竞赛成绩绘制了如下不完整的统计图表.
根据所给信息,解答下列问题.
(1)a=__________,b=________.
(2)请求出C组所在扇形统计图中的圆心角的度数.
(3)补全知识竞赛成绩频数分布直方图.
(4)已知该市九年级有3500名学生,请估算全市九年级知识竞赛成绩低于80分的人数.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点F,点G在边BC上,且∠GDF=∠ADF.
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)连接EG,判断EG与DF的位置关系并说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC的平分线AD和边BC的垂直平分线ED相交于点D,过点D作DF垂直于AC交AC的延长线于点F,若AB=8,AC=5,则CF=( )
A.1.5B.2C.2.5D.3
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【题目】如图,已知等边△ABC,AB=4,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接FD.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求EF的长.
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