【题目】问题原型:如图①,在锐角△ABC中,∠ABC=45°,AD⊥BC于点D,在AD上取点E,使DE=CD,连结BE.求证:BE=AC.
问题拓展:如图②,在问题原型的条件下,F为BC的中点,连结EF并延长至点M,使FM=EF,连结CM.
(1)判断线段AC与CM的大小关系,并说明理由.
(2)若AC=,直接写出A、M两点之间的距离.
【答案】问题原型:见解析; 问题拓展:(1)AC=CM,理由见解析;(2)AM=.
【解析】
根据题意证出△BDE≌△ADC即可得出答案;
证出△BEF≌△CMF即可得出答案;
(2)连接AM,求出∠ACM=90°,即可求出A
问题原型:∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°,
∵∠ABC=45°,
∴∠BAD=45°,
∴∠ABC=∠BAD,
∴AD=BD,
在△BDE和△ADC中,
∵,
∴△BDE≌△ADC(SAS),
∴BE=AC,
问题拓展:(1)AC=CM,理由:
∵点F是BC中点,
∴BF=CF,
在△BEF和△CMF中,
∵,
∴△BEF≌△CMF(SAS),
∴BE=CM,
由(1)知,BE=AC,
∴AC=CM;
(2)如图②,
连接AM,由(1)知,△BDE≌△ADC,
∴∠BED=∠ACD,
由(2)知,△BEF≌△CMF,
∴∠EBF=∠BCM,
∴∠ACM=∠ACD+∠BCM=∠BED+∠EBF=90°,
∵AC=CM,
∴AM=AC=.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(-1,5),B(﹣1,0),C(﹣4,3).
(1)在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1;(其中A1、B1、C1分别是A、B、C的对应点,不写画法.)
(2)写出点A1、B1、C1的坐标;
(3)求出△A1B1C1的面积.
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【题目】如图,直角坐标平面内,小明站在点A(﹣10,0)处观察y轴,眼睛距地面1.5米,他的前方5米处有一堵墙DC,若墙高DC=2米,则小明在y轴上的盲区(即OE的长度)为_____米.
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【题目】某校为了解学生的安全意识情况,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,根据调查结果,把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次,并绘制成如图9的两幅尚不完整的统计图.
根据以上信息,解答下列问题:
(1)这次调查一共抽取了 名学生;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)分别求出安全意识为“淡薄”的学生占被调查学生总数的百分比、安全意识为“很强”的学生所在扇形的圆心角的度数.
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【题目】将正面分别写着数字1,2,3的三张卡片(注:这三张卡片的形状、大小、质地,颜色等其他方面完全相同,若背面上放在桌面上,这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后,背面向上放在桌面上,从中先随机抽取一张卡片,记该卡片上的数字为x,再把剩下的两张卡片洗匀后,背面向上放在桌面上,再从这两张卡片中随机抽取一张卡片,记该卡片上的数字为y.
(1)用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法,写出(x,y)所有可能出现的结果.
(2)求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点D在线段BC上运动(D不与B、C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE交线段AC于E.
(1)当∠BDA=115°时,∠EDC= °,∠DEC= °;点D从B向C运动时,∠BDA逐渐变 (填“大”或“小”);
(2)当DC等于多少时,△ABD≌△DCE,请说明理由;
(3)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请直接写出∠BDA的度数.若不可以,请说明理由.
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【题目】在△ABC中,AB=AC=10,D为BC边上的中点,BD=6,连接AD.
(1)尺规作图:作AC边的中垂线交AD于点P;(保留作图痕迹,不要求写作法和证明)
(2)连接CP,求△DPC的周长.
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【题目】为了迎接全市体育中考,某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试,并从参加测试的名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩(单位:米,精确到米)作为样本进行分析,绘制了如图所示的频率分布直方图(每组含最低值,不含最高值).已知图中从左到右每个小长方形的高的比依次为,其中的频数为,请根据有关信息解答下列问题:
填空:这次调查的样本容量为________,这一小组的频率为________;
请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内,并说明理由;
样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米;
请估计该校初三男生立定跳远成绩在米以上(包括米)的约有多少人?
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【题目】某工艺品厂生产一种汽车装饰品,每件生产成本为20元,销售价格在30元至80元之间(含30元和80元),销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用(不含生产成本)总计50万元,其销售量y(万个)与销售价格(元/个)的函数关系如图所示.
(1)当30≤x≤60时,求y与x的函数关系式;
(2)求出该厂生产销售这种产品的纯利润w(万元)与销售价格x(元/个)的函数关系式;
(3)销售价格应定为多少元时,获得利润最大,最大利润是多少?
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