Question

【题目】在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（　　）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

先根据两对对应角相等的三角形相似，证明△AOD和△A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形A1B1C1C的边长等于正方形ABCD边长的，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的，然后即可求出第2014个正方形的边长与第1个正方形的边长的关系，从而求出第2012个正方形的面积．

解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，

又∵在坐标平面内，∠DAO+∠ADO=90°，

∴∠ADO=∠BAA1，

在△AOD和△A1BA中，，

∴△AOD∽△A1BA，

∴OD：AO=AB：A1B=2，

∴BC=2A1B，

∴A1C=BC，

以此类推A2C1=A1C，A3C2=A2C1，…，

即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍，

∴第2012个正方形的边长为（）2011BC，

∵A的坐标为（1，0），D点坐标为（0，2），

∴BC=AD=，

∴第2012个正方形的面积为：[（）2011BC]2=5×（）4022．

故选：D.