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    【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(－4,0)、B(2,0)，在y轴上有一点 E(0，－2)，连接AE．

    　　　　

    （1）求二次函数的表达式；

    （2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED＝，求此时点D坐标；

    （3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．

    【答案】（1）；（2）；（3）Q点的轨迹长为．

    【解析】

    （1）将A（4，0），B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋6，即可求解；
    （2）tan∠AED＝，由勾股定理得出AN＝，NE＝，证明Rt△AFN∽Rt△EFO，得到，求出OF＝2，得到直线EF的解析式，再联立方程组即可求解；
    （3）Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，Q点的运动轨迹是线段，即可求解．

    解：（1）将A（4，0），B（2，0）代入y＝ax2＋bx＋6（a≠0），

    ，解得：a＝，b＝，
    ∴；

    （2）过点A作AN⊥DE，DE与x轴交于点F，

    ∵tan∠AED＝，即，

    设AN=m，则EN=3m，

    ∵AE=，

    ∴，即

    解得：m=，
    ∴AN＝，NE＝3，
    ∵∠ANF=∠EOF，∠AFN=∠EFO，

    ∴Rt△AFN∽Rt△EFO，
    ∴，
    ∵EF2＝OF2＋4，
    ∴NF＝3EF=，
    ∴，
    ∴解得：OF＝2或OF=-14（舍去），
    ∴F（2，0），
    设直线EF的解析式为y=kx+n，

    将E（0,-2）和F（-2,0）代入得，解得k=-1，n=-2，

    ∴直线EF解析式为y＝x2，
    由，得或，

    ∵点D在第二象限，

    ∴；

    （3）∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，
    ∴Q点的运动轨迹是线段，
    当P点在A点时，Q（4，4），
    当P点在C点时，Q（6，6），
    ∴Q点的轨迹长为．

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