Question

【题目】如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标；

（3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）为定值

【解析】

（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值．

（2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．

（3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值．

（1）∵抛物线经过点，.

∴，解得：.

∴抛物线的函数表达式为.

（2）①若点在轴下方，如图1，

延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点.

∵当，解得：，.

∴.

∵，，

∴，，，，

∴中，，，

∵，为中点，

∴，，

∴，即，

∵，

∴，

∴中，，，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴中，，，.

∴，，

∴，，即，

设直线解析式为，

∴，解得：，

∴直线：.

∵，解得：（即点），，

∴.

②若点在轴上方，如图2，

在上截取，则与关于轴对称，

∴，

设直线解析式为，

∴，解得：，

∴直线：.

∵，解得：（即点），，

∴.

综上所述，点的坐标为或．

（3）为定值.

∵抛物线的对称轴为：直线，

∴，，

设，

设直线解析式为，

∴，解得：，

∴直线：，

当时，，

∴，

设直线解析式为，

∴，解得：，

∴直线：，

当时，，

∴，

∴，为定值．