Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，，以AB为直径作半圆O，点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度向点D运动，点Q从点C出发，沿C8方向以每秒3个单位的速度向点B运动，两点同时开始运动，当一点到达终点后，另一点也随之停止运动。设运动时间为.

(1)设点M为半圆上任意一点，则DM的最大值为______，最小值为______.

(2)设PQ交半圆于点F和点G(点F在点G的上方)，当时，求的长度；

(3)在运动过程中，PQ和半圆能否相切？若相切，请求出此时l的值，若不能相切，请说明理由；

(4)点N是半圆上一点，且，当运动时，PQ与半圆的交点恰好为点N，直接写出此时t的值。

Answer 1

【答案】(1)，；(2)4；(3)不能相切；(4)当运动时，与半圆的交点恰好为点.

【解析】

(1) 找出DM最大和最小的位置，即可得出结论；（2）先确定出AP=3，进而得出∠OFE=30°，即可得出∠FOG=120°，最后用弧长公式即可得出结论；（3）假设PQ与半圆相切，进而表示出PQ=12-2t．QH=12-4t，再用勾股定理建立122+（12-4t）2=（12-2t）2，判断出出此方程无解，即可得出结论．(4)先判断出0≤t≤4，再利用S扇形BON=6π，求出∠BON=60°，再判断出AP始终小于AI，最后得出，建立方程即可得出结论．

解：(1)如图，连接OD，此时DM最小，

在中，，

；

当点M和点B重合时，连接BD，

DM最大，

故答案为：，

(2)四边形ABCD是正方形，

，，

当时，四边形ABQP是矩形，

，

∵，，

，

，解得

，

如图1，设PQ交半圆于F，G，过点O作于点E，连接OF、OG，

，

∵，

，

∵，

，

∴的长度

(3)不能相切．

理由：若PQ与半圆O相切，设切点为点S，如图2，

由切线长定理，得，，

．

过点P作于点H，

四边形APHB是矩形，

，

，

∵在中，，

即：.

∵，此方程无解，

在运动过程中，和半圆不能相切；

(4)∵点是以每秒3个单位的速度向点运动，.

，

∵点是以每秒1个单位的速度向点运动，

即.

如图3，过点作，交于点，交于点，过点作于点，则四边形和四边形都是矩形，

∵，

.

∵，

，.

当点运动到点时，，不符合题意，

始终小于，

，，

∵，，

，.

∵，

.

，解得，

∵，

当运动时，与半圆的交点恰好为点.