Question

已知在四边形ABCD中，∠A=x, ∠C=y,（, ）．

（1）∠ABC + ∠ADC =               (用含x、y的代数式表示) ；

（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC ，BF平分与∠ABC相邻的外角,请写出DE 与 BF 的位置关系，并说明理由.

（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，

① 当x﹤y时，若x+y=140°，∠DFB=30°试求x、y.

②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，

∠DFB不存在．

   

         

图1                                  图2

 

Answer 1

（1）  360°-x-y            

     解：（2）延长DE交BF于G

          因为DE平分∠ADC，BF平分∠MBC

          所以∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM

          又因为∠CBM=-∠ABC=-=∠ADC

          所以∠CDE=∠CBF            

          又因为∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE

          所以∠BGE=∠C=

          所以（即）   

     （3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM= x+y

          因为BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN

          所以∠CDF+∠CBF=  （x+y）

          连接DB， 则∠CBD+∠CDB=180°- y

          得∠FBD+∠FDB=180°- y+ （x+y）=180°- y+x

          所以∠DFB= y-x  = 30°             

           解方程组得x=40°，y=100°…… ……10分

②  x=y