Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与边AC交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．
（1）证明：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径R=5，tanA=

3

4

，求线段CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）首先连接OD，由∠BDE=∠A，易得∠ODA=∠BDE，又由AB为直径，可得∠ADB=90°，继而求得∠ODE=90°，则可证得：DE是⊙O的切线．
（2）在Rt△ABC中，可得tanA=

BC

AB

=

3

4

，则可求得BC的长，然后由勾股定理求得AC的长，易证得△BCD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答：（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A．
又∵∠BDE=∠A，
∴∠ODA=∠BDE．
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°．
即∠ODA+∠ODB=90°．
∴∠BDE+∠ODB=90°．
∴∠ODE=90°．
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：∵R=5，
∴AB=10．
在Rt△ABC中，
∵tanA=

BC

AB

=

3

4

，
∴BC=AB•tanA=10×

3

4

=

15

2

，
∴AC=

AB2+BC2

=

25

2

，
∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ACB．
∴

CD

CB

=

CB

CA

，
∴CD=

CB2

CA

=

9

2

．

点评：此题考查了切线的性质与判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．