Question

【题目】如图，抛物线y=x2﹣2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，﹣m）作PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．

（1）若m=2，求点A和点C的坐标；

（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m的值；

（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），C（3，﹣3）;(2) m=;(3) E点的坐标为（2，0）或（，0）或（0，﹣4）；

【解析】

方法一：(1)m=2时,函数解析式为y=,分别令y=0,x=1,即可求得点A和点B的坐标, 进而可得到点C的坐标；

(2) 先用m表示出P, A C三点的坐标,分别讨论∠APC=,∠ACP=,∠PAC=三种情况, 利用勾股定理即可求得m的值；

(3) 设点F（x，y）是直线PE上任意一点，过点F作FN⊥PM于N，可得Rt△FNP∽Rt△PBC，

NP：NF=BC：BP求得直线PE的解析式，后利用△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形求得E点坐标.

方法二：（1）同方法一.

(2) 由△ACP为直角三角形, 由相互垂直的两直线斜率相乘为-1，可得m的值；

（3）利用△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，分别讨论E点再x轴上，y轴上的情况求得E点坐标。

方法一：

解：

（1）若m=2，抛物线y=x2﹣2mx=x2﹣4x，

∴对称轴x=2，

令y=0，则x2﹣4x=0，

解得x=0，x=4，

∴A（4，0），

∵P（1，﹣2），令x=1，则y=﹣3，

∴B（1，﹣3），

∴C（3，﹣3）．

（2）∵抛物线y=x2﹣2mx（m＞1），

∴A（2m，0）对称轴x=m，

∵P（1，﹣m）

把x=1代入抛物线y=x2﹣2mx，则y=1﹣2m，

∴B（1，1﹣2m），

∴C（2m﹣1，1﹣2m），

∵PA2=（﹣m）2+（2m﹣1）2=5m2﹣4m+1，

PC2=（2m﹣2）2+（1﹣m）2=5m2﹣10m+5，

AC2=1+（1﹣2m）2=2﹣4m+4m2，

∵△ACP为直角三角形，

∴当∠ACP=90°时，PA2=PC2+AC2，

即5m2﹣4m+1=5m2﹣10m+5+2﹣4m+4m2，整理得：4m2﹣10m+6=0，

解得：m=，m=1（舍去），

当∠APC=90°时，PA2+PC2=AC2，

即5m2﹣4m+1+5m2﹣10m+5=2﹣4m+4m2，整理得：6m2﹣10m+4=0，

解得：m=，m=1，和1都不符合m＞1，

故m=．

（3）设点F（x，y）是直线PE上任意一点，过点F作FN⊥PM于N，

∵∠FPN=∠PCB，∠PNF=∠CBP=90°，

∴Rt△FNP∽Rt△PBC，

∴NP：NF=BC：BP，即=，

∴y=2x﹣2﹣m，

∴直线PE的解析式为y=2x﹣2﹣m．

令y=0，则x=1+，

∴E（1+m，0），

∴PE2=（﹣m）2+（m）2=，

∴=5m2﹣10m+5，解得：m=2，m=，

∴E（2，0）或E（，0），

∴在x轴上存在E点，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（2，0）或E（，0）；

令x=0，则y=﹣2﹣m，

∴E（0，﹣2﹣m）

∴PE2=（﹣2）2+12=5

∴5m2﹣10m+5=5，解得m=2，m=0（舍去），

∴E（0，﹣4）

∴y轴上存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（0，﹣4），

∴在坐标轴上是存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，E点的坐标为（2，0）或（，0）或（0，﹣4）；

方法二：

（1）略．

（2）∵P（1，﹣m），

∴B（1，1﹣2m），

∵对称轴x=m，

∴C（2m﹣1，1﹣2m），A（2m，0），

∵△ACP为直角三角形，

∴AC⊥AP，AC⊥CP，AP⊥CP，

①AC⊥AP，∴KAC×KAP=﹣1，且m＞1，

∴，m=﹣1（舍）

②AC⊥CP，∴KAC×KCP=﹣1，且m＞1，

∴=﹣1，∴m=，

③AP⊥CP，∴KAP×KCP=﹣1，且m＞1，

∴=﹣1，∴m=（舍）

（3）∵P（1，﹣m），C（2m﹣1，1﹣2m），

∴KCP=，

△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，

∴PE⊥PC，∴KPE×KCP=﹣1，∴KPE=2，

∵P（1，﹣m），

∴lPE：y=2x﹣2﹣m，

∵点E在坐标轴上，

∴①当点E在x轴上时，

E（，0）且PE=PC，

∴（1﹣）2+（﹣m）2=（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，

∴m2=5（m﹣1）2，

∴m1=2，m2=，

∴E1（2，0），E2（，0），

②当点E在y轴上时，E（0，﹣2﹣m）且PE=PC，

∴（1﹣0）2+（﹣m+2+m）2=（2m﹣1﹣1）2+（1﹣2m+m）2，

∴1=（m﹣1）2，

∴m1=2，m2=0（舍），

∴E（0，4），

综上所述，（2，0）或（，0）或（0，﹣4）．