Question

13．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A（-$\sqrt{3}$，1）．
（1）试确定此反比例函数的表达式；
（2）已知点P（m，$\sqrt{3}$m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过点P作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是$\frac{1}{2}$．设点Q的纵坐标为n，求n²-2$\sqrt{3}$n+2015的值．

Answer 1

分析 （1）把A坐标代入反比例函数解析式求出k的值，确定出反比例解析式；
（2）由P在反比例函数图象上，把P坐标代入反比例解析式得到关于m的关系式，由PQ垂直于x轴，设出Q（m，n），根据三角形OQM面积为$\frac{1}{2}$，利用三角形面积公式得到得到mn=-1，得出m=-$\frac{1}{n}$，把m=-$\frac{1}{n}$代入m²+2$\sqrt{3}$m+1=0求出n²-2$\sqrt{3}$n的值，即可确定出所求式子的值．

解答 解：（1）把A（-$\sqrt{3}$，1）代入反比例解析式得：1=$\frac{k}{-\sqrt{3}}$，解得k=-$\sqrt{3}$，
可得反比例函数的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
（2）由y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$，得xy=-$\sqrt{3}$，
∵点P（m，$\sqrt{3}$m+6）在反比例函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$的图象上，其中m＜0，
∴m（$\sqrt{3}$m+6）=-$\sqrt{3}$，
∴m²+2$\sqrt{3}$m+1=0，
∵PQ⊥x轴，
∴Q点的坐标为（m，n），
∵△OQM的面积是$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OM•QM=$\frac{1}{2}$，
∵m＜0，
∴mn=-1，
∴m=-$\frac{1}{n}$，
把m=-$\frac{1}{n}$代入m²+2$\sqrt{3}$m+1=0得，$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{2\sqrt{3}}{n}$+1=0，
化简得，n²-2$\sqrt{3}$n+1=0，
∴n²-2$\sqrt{3}$n=-1，
∴${n^2}-2\sqrt{3}n+2015=2014$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例函数解析式，坐标与图形性质，以及代数式求值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．