Question

18．已知反比例函数y=$\frac{-k}{x}$（k≠0）的图象上有点A（1，-k）和B（-1，k），点C（-$\frac{1}{2}$，n+1）在直线y=k（x+$\frac{7}{4}$）上，且△ABC是以AB为斜边的直角三角形．
（1）用n的代数式表示k；
（2）求反比例函数的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）把点C（-$\frac{1}{2}$，n+1）代入y=k（x+$\frac{7}{4}$）利用待定系数法即可求得；
（2）作CN∥y轴，交过B作y轴的垂线于N，过A作AM⊥CN于M，根据点的坐标表示出AM=$\frac{3}{2}$，BN=$\frac{1}{2}$，CN=$\frac{9}{4}$|k|，CM=$\frac{1}{4}$|k|，然后根据△BCN∽△CAM得出$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{9}{4}|k|}$=$\frac{\frac{1}{4}|k|}{\frac{3}{2}}$，从而求得k的值，即可求得反比例函数的解析式．

解答 解；（1）∵点C（-$\frac{1}{2}$，n+1）在直线y=k（x+$\frac{7}{4}$）上，
∴n+1=k（-$\frac{1}{2}$+$\frac{7}{4}$），整理得n+1=$\frac{5}{4}$k，
解得k=$\frac{4}{5}$（n+1）；
（2）如图，作CN∥y轴，交过B作y轴的垂线于N，过A作AM⊥CN于M，
∵n+1=$\frac{5}{4}$k，
∴点C（-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$k），
∵A（1，-k）和B（-1，k），
∴AM=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，BN=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，CN=$\frac{5}{4}$|k|+|k|=$\frac{9}{4}$|k|，CM=$\frac{5}{4}$|k|-|k|=$\frac{1}{4}$|k|，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCN+∠ACM=90°，
∵∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠CBN=∠ACM，
∵∠AMC=∠CNB=90°，
∴△BCN∽△CAM，
∴$\frac{BN}{CN}$=$\frac{CM}{AM}$，即$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{9}{4}|k|}$=$\frac{\frac{1}{4}|k|}{\frac{3}{2}}$，
∴k²=$\frac{4}{3}$，
解得k=±$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的函数表达式为y=$\frac{2\sqrt{3}}{3x}$或y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3x}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的特征，主要是根据反比例函数的解析式表示出AM、BN、CM、CN的长度，进而根据三角形相似对应边成比例求出k的值，作出辅助线构建相似三角形是本题的关键．