Question

8．在△ABC中，已知AB=7，点C到AB的距离为4，则△ABC周长的最小值是（　　）

• A． 5+4$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{113}$+7
• C． 2$\sqrt{5}$+$\sqrt{41}$
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 作AB的平行线l，使直线l到AB的距离为4，作BD⊥直线l并延长使BD=8，连接AD，交直线l于C，此时BC=DC，AC+BC=AC+DC=AD，AD就是AC+BC的最小值，AC+BC取最小值时，△ABC周长的值最小，最小值为AD+AB．

解答 解：作AB的平行线l，使直线l到AB的距离为4，如图，
作BD⊥直线l并延长使BD=8，连接AD，交直线l于C，此时BC=DC，AC+BC=AC+DC=AD，AD就是AC+BC的最小值，AC+BC取最小值时，△ABC周长的值最小；
∵AB∥直线l，BD⊥直线l，
∴AB⊥BD，
在RT△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{113}$，
∴△ABC周长的最小值=AD+AB=$\sqrt{113}$+7．
故选B．

点评 此题考查了线路最短的问题以及平行线的性质，确定动点C的位置，使AC+BC的值最小是关键．