Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E．F分别在边AB．BC上，且AE=BF=1，CE．DF交于点O．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=，④S△ODC=S四边形BEOF中，正确的有_______________________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由正方形的ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得③正确；由全等三角形易证得④正确．

∵正方形的ABCD的边长为4，

∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，

∵AE=BF=1，

∴BE=CF=4-1=3，

在△EBC和△FCD中，

，

∴△EBC≌△FCD（SAS），

∴∠CFD=∠BEC，

∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，

∴∠DOC=90°，

故①正确；

连接DE，如图所示：

若OC=OE，

∵DF⊥EC，

∴CD=DE，

∵CD=AD<DE（矛盾），

故②错误；

∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，

∴∠OCD=∠DFC，

∴tan∠OCD=tan∠DFC=，

故③正确；

∵△EBC≌△FCD，

∴，

∴，

即S△ODC=S四边形BEOF，

故④正确；

故答案为: ①③④．